2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（九）二维形式的柯西不等式（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（九）二维形式的柯西不等式1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是()A．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q解析：选A设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10]D．(－5，5)解析：选A(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－25≤a－b≤25.3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625解析：选B(2x2＋3y2)[(3)2＋(2)2]≥(6x＋6y)2＝[6(x＋y)]2＝6，当且仅当x＝35，y＝25时取等号，即2x2＋3y2≥65.故2x2＋3y2的最小值为65.4．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B.5C．3D．5解析：选B根据柯西不等式，知y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5，2当且仅当x＝265时取等号．5．设xy0，则x2＋4y2y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝x2＋2y21x2＋y2≥x·1x＋2y·y2＝9，当且仅当xy＝2时取等号．答案：96．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，∴|a·b|≤－2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18，∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18(4，－2，－4)7．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．解析：由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(3x)2＋(2y)2]·232＋122＝(3x2＋2y2)·43＋12≤6×116＝11，当且仅当x＝411，y＝311时取等号，故P＝2x＋y的最大值为11.答案：118．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求证：1x＋1y≥2.证明：1x＋1y＝12(x＋y)1x＋1y＝12[(x)2＋(y)2]1x2＋1y2≥12x·1x＋y·1y2＝2，当且仅当xy＝yx，x＋y＝2时等号成立，此时x＝1，y＝1.所以1x＋1y≥2.9．若x2＋4y2＝5，求x＋y的最大值及此时x，y的值．3解：由柯西不等式得[x2＋(2y)2]12＋122≥(x＋y)2，即(x＋y)2≤5×54＝254，x＋y≤52.当且仅当x1＝2y12，即x＝4y时取等号．由x2＋4y2＝5，x＝4y，得x＝2，y＝12或x＝－2，y＝－12(舍去)．∴x＋y的最大值为52，此时x＝2，y＝12.10．求函数f(x)＝3cosx＋41＋sin2x的最大值，并求出相应的x的值．解：设m＝(3,4)，n＝(cosx，1＋sin2x)，则f(x)＝3cosx＋41＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n|＝cos2x＋1＋sin2x·32＋42＝52，当且仅当m∥n时，上式取“＝”．此时，31＋sin2x－4cosx＝0.解得sinx＝75，cosx＝325.故当sinx＝75，cosx＝325时．f(x)＝3cosx＋41＋sin2x取最大值52.4