2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（九）参数方程和普通方程的互化（含解析）新人教A版选修4

1课时跟踪检测(九)参数方程和普通方程的互化一、选择题1．将参数方程x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：选C方程可化为y＝x－2，x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.2．参数方程x＝cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)表示的曲线是()A．直线B．圆C．线段D．射线解析：选Cx＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1(x∈[0,1])为线段．3．曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析：选B将x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.4．已知曲线C：x＝22t，y＝a＋22t(t为参数)，A(－1,0)，B(1,0)，若曲线C上存在点P满足AP―→·BP―→＝0，则实数a的取值范围为()A.－22，22B．[－1,1]C．[－2，2]D．[－2,2]解析：选C设P(x，y)，∵A(－1,0)，B(1,0)，点P满足AP―→·BP―→＝0，2∴P的轨迹方程是x2＋y2＝1，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆．曲线C：x＝22t，y＝a＋22t(t为参数)化成普通方程为x－y＋a＝0，由题意知，圆心(0,0)到直线x－y＋a＝0的距离d＝|a|2≤1，∴－2≤a≤2.二、填空题5．x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．解析：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化成标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示圆心为(－1,2)，半径为2的圆，故参数方程为x＝－1＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)．答案：x＝－1＋2cosθ，y＝2＋2sinθ(θ为参数)6．直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数为________．解析：x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)化为普通方程为x＋y＝1，x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)化为普通方程为x2＋y2＝9，表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆．圆心(0,0)到直线的距离为12＝22，小于半径3，所以直线与圆相交．因此，交点的个数为2.答案：27．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________________．解析：曲线C的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，其参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．答案：x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)三、解答题8．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．3(1)x＝－4t2，y＝t＋1(t为参数，t≥0)；(2)x＝2cost，y＝3sint(π≤t≤2π)．解：(1)x＝－4t2，①y＝t＋1，②由②得t＝y－1，又t≥0，所以y≥1.所以x＝－4(y－1)2(y≥1)，即(y－1)2＝－14x(y≥1)．方程表示的是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分．(2)由x＝2cost，y＝3sint，得x24＋y29＝1.∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－3≤y≤0.∴所求方程为x24＋y29＝1(－3≤y≤0)，它表示半个椭圆椭圆x24＋y29＝1在x轴下方的部分.9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．解：圆x2＋y2＝4的参在此圆上任取一点P(2cosθ，2sinθ)，则PQ的中点为M(2cosθ，sinθ)，所以PQ中点轨迹的参数方程为x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，化成普通方程x24＋y2＝1.10．已知曲线C1的参数方程为x＝－2＋10cosθ，y＝10sinθ(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋6sinθ.(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解：(1)由x＝－2＋10cosθ，y＝10sinθ(θ为参数)得(x＋2)2＋y2＝10，∴曲线C1的普通4方程为(x＋2)2＋y2＝10.∵ρ＝2cosθ＋6sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ＋6ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10.∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.(2)∵圆C1的圆心为(－2,0)，圆C2的圆心为(1,3)，∴|C1C2|＝－2－2＋－2＝32＜210，∴两圆相交．设相交弦长为d，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C1C2，∴d22＋3222＝(10)2，解得d＝22，∴公共弦长为22.