2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（六）柱坐标系与球坐标系简介（含解析）新人教A版选修4-

1课时跟踪检测(六)柱坐标系与球坐标系简介一、选择题1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的()A．球B．球面C．圆D．直线解析：选Br＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是()A.2，π3，3B.2，2π3，3C.2，4π3，3D.2，5π3，3解析：选Cρ＝－2＋－32＝2，∵tanθ＝yx＝3，x0，y0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M的柱坐标为2，4π3，3.3．若点M的球坐标为8，π3，5π6，则它的直角坐标为()A．(－6,23，4)B．(6,23，4)C．(－6，－23，4)D．(－6,23，－4)解析：选A由x＝8sinπ3cos5π6＝－6，y＝8sinπ3sin5π6＝23，z＝8cosπ3＝4，得点M的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为()A.22，3π4，π6B.22，π4，π6C.22，π4，π3D.22，3π4，π3解析：选A设M的球坐标为(r，φ，θ)，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ2π，则r＝32＋12＋－2＝22，由22cosφ＝－2得φ＝3π4，又tanθ＝13＝33，x0，y＞0，得θ＝π6，2∴点M的球坐标为22，3π4，π6.故选A.二、填空题5．点P的柱坐标为4，π6，3，则点P到原点的距离为________．解析：x＝ρcosθ＝4cosπ6＝23，y＝ρsinθ＝4sinπ6＝2.即点P的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为3－2＋－2＋－2＝25＝5.答案：56．点M(－3，－3,3)的柱坐标为________．解析：ρ＝x2＋y2＝－2＋－2＝32，∵tanθ＝－3－3＝1，x0，y0，∴θ＝5π4，∴点M的柱坐标为32，5π4，3.答案：32，5π4，37．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tanφ＝________，tanθ＝________.解析：如图所示，tanφ＝x2＋y2z＝53，tanθ＝yx＝2.答案：532三、解答题8．设点M的直角坐标为(1,1，2)，求点M的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝x2＋y2＝2，∵tanθ＝yx＝1，x0，y0，∴θ＝π4.r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋22＝2.3由rcosφ＝z＝2(0≤φ≤π)，得cosφ＝2r＝22，φ＝π4.所以点M的柱坐标为2，π4，2，球坐标为2，π4，π4.9．已知点M的柱坐标为2，π4，3，点N的球坐标为2，π4，π2，求线段MN的长度．解：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由变换公式得，x＝ρcosθ＝2cosπ4＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝1，z＝3，∴点M的直角坐标为(1,1,3)，设点N的直角坐标为(a，b，c)，则a＝ρsinφ·cosθ＝2×22×0＝0，b＝ρsinφ·sinθ＝2×22×1＝2，c＝ρcosφ＝2×22＝2，∴点N的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN|＝12＋－22＋－22＝15－82.10.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A­xyz，以Ax为极轴．求点C1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，且x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得ρ＝x2＋y2，tanθ＝yxx，且r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得ρ＝2，tanθ＝1，且r＝3，cosφ＝33.4结合图形，得θ＝π4，由cosφ＝33得tanφ＝2.所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为2，π4，1，球坐标为3，φ，π4，其中tanφ＝2，0≤φ≤π.