2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十一）函数的极值（含解析）北师大版选修2-2

1课时跟踪检测（十一）函数的极值1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D∵y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝x－21＋x2≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.2．函数f(x)＝32x2－lnx的极值点为()A．0,1，－1B.33C．－33D.33，－33解析：选B由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33x＝－33舍去.当x33时，f′(x)0；当0x33时，f′(x)0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝33，无极大值点，选B.3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极值，则()A．0b1B．b0C．b0D．b12解析：选Af′(x)＝3x2－3b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±b，∴0b1，∴0b1.4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图像的一部分如图所示，则正确的是()A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)解析：选D由题图可知，2当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)0，即f′(x)0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)0，即f′(x)0；当x∈(0,3)时，xf′(x)0，即f′(x)0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)0，即f′(x)0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．5．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取得极值，则a＝________.解析：f′(x)＝2xx＋－x2＋ax＋2＝x2＋2x－ax＋2，由题意得f′(1)＝3－a4＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．答案：36．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x＝32时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图像可知，当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．求下列函数的极值．(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋4；(2)f(x)＝x3ex.解：(1)∵f(x)＝13x3－x2－3x＋4，∴f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化，如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋3f(x)极大值极小值∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝f(－1)＝173，f(x)极小值＝f(3)＝－5.(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：x(－∞，－3)－3(－3,0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)极小值无极值由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．8．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．解：∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0，得x＝a2或x＝a3.(1)当a0时，a3a2，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，a3a3a3，a2a2a2，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝a3时，函数取得极大值fa3＝a327；当x＝a2时，函数取得极小值fa2＝0.(2)当a0时，a2a3，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，a2a2a2，a3a3a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值4∴当x＝a2时，函数取得极大值fa2＝0；当x＝a3时，函数取得极小值f(a3)＝a327.综上所述，当a0时，函数f(x)在x＝a3处取得极大值fa3＝a327，在x＝a2处取得极小值fa2＝0；当a0时，函数f(x)在x＝a2处取得极大值fa2＝0，在x＝a3处取得极小值fa3＝a327.5