2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十一）双曲线的参数方程 抛物线的参数方程（含解析）新人

1课时跟踪检测(十一)双曲线的参数方程抛物线的参数方程一、选择题1．曲线x＝t2－1，y＝2t＋1(t为参数)的焦点坐标是()A．(1,0)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析：选B将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．2．已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，p0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1＋t2＝0，则|AB|等于()A．2p(t1－t2)B．2p(t21＋t22)C．2p|t1－t2|D．2p(t1－t2)2解析：选C因为x1＝2pt21，x2＝2pt22，所以x1－x2＝2p(t21－t22)＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因为y1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.故选C.3．方程x＝et＋e－t，y＝et－e－t(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：选B∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2et·e－t＝2.∴表示双曲线的右支．4．P为双曲线x＝4secθ，y＝3tanθ(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：选A由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5,0)，F2(5,0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝－5＋5＋4secθ3＝43secθ，y＝0＋0＋3tanθ3＝tanθ.2从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．二、填空题5．曲线x＝3t－2，y＝t2－1(t为参数)与x轴的交点坐标是________．解析：将曲线的参数方程化为普通方程为(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－5，故交点坐标为(1,0)，(－5,0)．答案：(1,0)，(－5,0)6．双曲线x＝3tanθ，y＝secθ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y2－x23＝1，此时a＝1，b＝3，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±13＝±33.∴α＝30°或150°.答案：30°或150°7．点P(1,0)到曲线x＝t2，y＝2t(t为参数)上的点的最短距离为________．解析：设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝x－2＋y－2＝t2－2＋t2＝t2＋2＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.答案：1三、解答题8．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ.则(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋2)2＋tan2θ]·[(secθ－2)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋22secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－22secθ＋2＋tan2θ)＝(2secθ＋1)2(2secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2.又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.39．求点P(0,1)到双曲线x2－y2＝4的最小距离．解：设双曲线x2－y2＝4上任一点坐标为M2cosφ，2tanφ，则|PM|2＝2cosφ2＋(2tanφ－1)2＝4(1＋tan2φ)＋4tan2φ－4tanφ＋1＝8tan2φ－4tanφ＋5＝8tanφ－142＋92.则当tanφ＝14时，|PM|2min＝92.所以|PM|min＝322，即点P到双曲线的最小距离为322.10.如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？解：根据题意，设点A，B的坐标分别为(2pt21，2pt1)，(2pt22，2pt2)(t1≠t2，且t1·t2≠0)，则|OA|＝pt212＋pt12＝2p|t1|t21＋1，|OB|＝pt222＋pt22＝2p|t2|t22＋1.因为OA⊥OB，所以OA―→·OB―→＝0，即2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0，所以t1·t2＝－1.所以△AOB的面积为S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12·2p|t1|t21＋1·2p|t2|t22＋1＝2p2|t1t2|t21＋t22＋＝2p2t21＋t22＋2＝2p2t21＋1t21＋2≥2p22＋2＝4p2.当且仅当t21＝1t21，即t1＝1，t2＝－1时，等号成立．4所以点A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.