2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十六）导数的运算法则（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（十六）导数的运算法则层级一学业水平达标1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B.2C．－1D．0解析：选A∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析：选Dy′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.3．若y＝x2·4x，则y′＝()A．x2·4x＋2xB．(2x＋x2)·4xC．(2x＋x2ln4)·4xD．(x＋x2)·4x解析：选Cy′＝(x2)′·4x＋x2(4x)′＝2x·4x＋x2·4xln4＝(2x＋x2ln4)·4x，故选C.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5解析：选B因为点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，所以该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.5．设曲线f(x)＝ax－lnx在点(1，f(1))处的切线与y＝2x平行，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：选Df′(x)＝a－1x，由题意得f′(1)＝2，即a－1＝2，所以a＝3.6．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：设y＝f(x)，则f′(x)＝2x－1x2，2所以f′(1)＝2－1＝1.所以在(1,2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1.答案：y＝x＋17．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4×22＋22，得f′π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx．∴fπ4＝1.答案：18．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.解析：因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′π2＝sinπ2＋π2cosπ2＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×－a2＝－1，解得a＝2.答案：29．求下列函数的导数．(1)y＝x－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x2sinx；(4)y＝x＋3x2＋3.解：(1)y′＝(x－lnx)′＝(x)′－(lnx)′＝12x－1x.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝x2x－x2xsin2x＝2xsinx－x2cosxsin2x.3(4)y′＝x2＋－x＋xx2＋2＝－x2－6x＋3x2＋2.10．已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解：f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x＞0)，由已知得x＝alnx，12x＝ax，解得a＝e2，x＝e2，所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝12e，所以切线的方程为y－e＝12e(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.层级二应试能力达标1．函数y＝sinx(cosx＋1)的导数是()A．cos2x－cosxB．cos2x＋sinxC．cos2x＋cosxD．cos2x＋cosx解析：选Cy′＝(sinx)′(cosx＋1)＋sinx(cosx＋1)′＝cosx(cosx＋1)＋sinx(－sinx)＝cos2x＋cosx，故选C.2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0解析：选B∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.3．曲线y＝x2ex在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．3eD．1解析：选C函数的导数为f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)．当x＝1时，f′(1)＝3e，即曲线y＝x2ex在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝3e，故选C.4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()4A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－4x＞0，整理得x＋x－x＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.5．已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.答案：16．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝12x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，∴f′(x)＝ex－m，∵曲线C存在与直线y＝12x垂直的切线，∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，∴m＝2＋ex＞2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)7．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝52，c＝－92.5∴函数f(x)的解析式为f(x)＝52x4－92x2＋1.8．设抛物线C：y＝－x2＋92x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①y1＝－x21＋92x1－4，②由①②，得x21＋k－92x1＋4＝0.∵点P为切点，∴Δ＝k－922－16＝0，得k＝172或k＝12.当k＝172时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝12时，x1＝2，y1＝1.∵点P在第一象限，∴所求的斜率k＝12.(2)过点P作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③将③代入抛物线方程，得x2－132x＋9＝0.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，∴x2＝92，y2＝－4，∴Q点的坐标为92，－4.6