2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十）反证法（含解析）北师大版选修1-2

1课时跟踪检测（十）反证法1．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是()A．无解B．两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案：D2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数解析：选Da＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．4．设a，b，c为正实数，则3个数a＋1b，b＋1c，c＋1a中()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析：选D若三个数都小于2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a6，而a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6，矛盾．5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②6．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．2解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴ABα，CDα，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．答案：异面7．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c，证明：2b＝1a＋1c不成立．证明：假设2b＝1a＋1c成立，则2b＝a＋cac＝2bac，故b2＝ac，又b＝a＋c2，所以a＋c22＝ac，即(a－c)2＝0，a＝c.这与a，b，c两两不相等矛盾．因此2b＝1a＋1c不成立．8．求证：不论x，y取任何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．证明：设存在非零实数x，y，使得等式1x＋1y＝1x＋y总成立．则有x＋yxy＝1x＋y，(x＋y)2＝xy，x2＋xy＋y2＝0.因为x，y是非零实数，所以x2＋xy＋y2＝x＋y22＋3y240，这与x2＋xy＋y2＝0矛盾．所以，不论x，y取任何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．9.如图所示，在△ABC中，ABAC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线．求证：点M不在线段CD上．证明：假设点M在线段CD上，则BDBM＝CMCD.由已知，得AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，∴AB2＝BD2＋AD2BM2＋AD2CD2＋AD2＝AC2，即AB2AC2，∴ABAC.这与ABAC矛盾．3∴点M不在线段CD上．