2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（二十二）空间向量的数量积（含解析）苏教版选修2-1

1课时跟踪训练(二十二)空间向量的数量积1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.3．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________________________________________________________________________.4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．6．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．7．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求△ABC的面积．8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．2答案1．解析：AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝332×2＝12，∴〈AB，AC〉＝60°.答案：60°2．解析：a·b＝2×3×cos60°＝3.∴|2a－3b|＝4|a|2－12a·b＋9|b|2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：613．解析：设a＝(x，y，z)，由题意有a·AB＝0，a·AC＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：x＝313，y＝413，z＝1213或x＝－313，y＝－413，z＝－1213.答案：313，413，1213或－313，－413，－12134．解析：∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC·AB＝0，BD·AB＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA，BD〉＝60°，∴CD2＝|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝164，∴|CD|＝241.答案：2416．解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(ka＋b)∥(a－3b)，3∴k－27＝5k＋3－4＝－k＋5－16，解得k＝－13.(2)∵(ka＋b)⊥(a－3b)，∴(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0.解得k＝1063.7．解：∵AB＝(1,1,1)，AC＝(2,1,3)，∴|AB|＝3，|AC|＝14，AB·AC＝6，∴cos∠BAC＝cos〈AB，AC〉＝AB·AC|AB||AC|＝63×14＝427，∴sin∠BAC＝1－cos2A＝17＝77，∴S△ABC＝12|AB||AC|sin∠BAC＝12×3×14×77＝62.8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，∴1AO＝(－2,0,2)，1BE＝(－1,0，－2)，∴cos〈1AO，1BE〉＝－2210＝－1010.故AO1与B1E所成的角的余弦值为1010.(2)由题意得1OD⊥AC，AD∥AC，∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，∴1OD＝(x，y，－2)，AD＝(x－2，y,0)，AC＝(－2,3,0)，∴－2x＋3y＝0，x－2－2＝y3，解得x＝1813，y＝1213，∴D1813，1213，0.4O1D＝|1OD|＝18132＋12132＋4＝1144132＝228613.