2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（四）（含解析）新人教A版选修4-5

1阶段质量检测(四)(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等式12＋22＋32＋…＋n2＝12(5n2－7n＋4)()A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1,2,3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：选B分别用n＝1,2,3,4,5验证即可．2．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n32－1n(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A．1＋1232－12B．1＋123＋1332－13C．1＋1232－13D．1＋123＋1332－14解析：选A第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋1232－12.3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C左端为n＋2项和，n＝1时应为三项和，即1＋a＋a2.4．用数学归纳法证明2nn2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是()A．假设n＝k时命题成立B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C．假设n＝k(k≥5)时命题成立D．假设n＝k(k5)时命题成立解析：选Ck应满足k≥5，C正确．5．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n22C．3n－1D．4n－3解析：选B计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，可猜想an＝n2.6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)解析：选B第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：选A由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．8．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选Af(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A.9．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()A．假设当n＝k(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，xk＋yk能被x＋y整除解析：选D第k个奇数应是n＝2k－1，k∈N＋.10．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)k2成立3C．若f(7)≥49成立，则当k7时，均有f(k)k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：选D∵f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝2516＝42成立．∴当k≥4时，有f(k)≥k2成立．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝n4＋n22(n∈N＋)，则n＝k＋1时，左端应为在n＝k时的基础上加上____________________．解析：n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋…＋(k＋1)212．设f(n)＝1＋1n1＋1n＋1…1＋1n＋n，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设n＝k时成立后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________________.解析：∵f(k)＝1＋1k1＋1k＋1·…·1＋1k＋k，f(k＋1)＝1＋1k＋11＋1k＋2·…·1＋1k＋k·1＋1k＋k＋1·1＋1k＋k＋2∴f(k＋1)＝f(k)·1＋12k＋11＋12k＋2kk＋1.答案：1＋12k＋11＋12k＋2kk＋113．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，应证明等式________成立．答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－214．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为__________，猜想Sn＝__________.解析：因为Sn，Sn＋1,2S1成等差数列．所以2Sn＋1＝Sn＋2S1，又S1＝a1＝1.所以2S2＝S1＋2S1＝3S1＝3，于是S2＝32＝22－12，2S3＝S2＋2S1＝32＋2＝72，于是S3＝74＝23－122，由此猜想Sn＝2n－12n－1.4答案：32，74，1582n－12n－1三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明，对于n∈N＋，都有11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋＝nn＋1.证明：(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即11×2＋12×3＋13×4＋…＋1kk＋＝kk＋1，当n＝k＋1时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1kk＋＋1k＋k＋＝kk＋1＋1k＋k＋＝kk＋＋1k＋k＋＝k＋2k＋k＋＝k＋1k＋2.即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对于任意的自然数n等式都成立．16．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－1＞2n＋12均成立．证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.∵左边＞右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－1＞2k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋1k＋－1＞2k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋15＝4k2＋8k＋422k＋1＞4k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝k＋＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．17．(本小题满分12分)如果数列{an}满足条件：a1＝－4，an＋1＝－1＋3an2－an(n＝1,2，…)，证明：对任何自然数n，都有an＋1an且an0.证明：(1)由于a1＝－4，a2＝－1＋3a12－a1＝－1－122＋4＝－136a1.且a10，因此，当n＝1时不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1ak且ak0，那么ak＋1＝－1＋3ak2－ak0，ak＋2－ak＋1＝－1＋3ak＋12－ak＋1－－1＋3ak2－ak＝ak＋1－ak－ak＋1－ak0.这就是说，当n＝k＋1时不等式也成立，根据(1)(2)，不等式对任何自然数n都成立．因此，对任何自然数n，都有an＋1an，且an＜0.18．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋λa2n＋μ－1an(n∈N＋)．(1)若λ＝μ＝1，证明数列{lg(an＋1)}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若λ＝0，是否存在实数μ，使得an≥2对一切n∈N＋恒成立？若存在，求出μ的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)∵λ＝μ＝1，则an＋1＝a2n＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2，lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)，∴{lg(an＋1)}是公比为2的等比数列，且首项为lg3，∴lg(an＋1)＝2n－1lg3，∴an＋1＝32n－1，∴an＝32n－1－1(n∈N＋)．(2)由a2＝2a1＋μ－1a1＝4＋μ－12≥2，得μ≥－3，猜想μ≥－3时，对一切n∈N＋，an≥2恒成立．6①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，ak≥2，则由an＋1＝2a2n＋μ－1an，得ak＋1－2＝2a2k－2ak＋μ－1ak＝2ak－122＋μ－32ak≥2×322＋μ－32ak＝μ＋3ak≥0，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2，猜想成立．由①②可知，当μ≥－3时，对一切n∈N＋，恒有an≥2.7