2.3.1-幂函数的图象及性质-课件(人教A版必修1)

§2.3幂函数2．3.1幂函数的图象及性质学习目标1.通过实例，了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．课堂互动讲练知能优化训练2．3.1课前自主学案课前自主学案温故夯基1．一般地，形如_________________的函数叫做指数函数；形如____________________的函数叫做对数函数．2．函数y＝x－1的图象是_______，关于原点对称，定义域{x|x≠0}；函数y＝x的图象是过原点的直线，关于原点对称；函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，关于y轴对称．y＝ax(a0，a≠1)y＝logax(a0，a≠1)双曲线知新益能1．幂函数的概念一般地，函数______叫做幂函数，其中x是_______，α是常数．2．幂函数的图象及性质(1)五种常见幂函数的图象：对于幂函数，我们只讨论α∈{1,2,3，，－1}时的情况，在同一坐标系内这五种常见幂函数的图象如图所示：12y＝xα自变量(2)幂函数的性质问题探究1．函数y＝x2与y＝2x有什么区别？提示：y＝x2是幂函数，也可认为是特殊的二次函数，自变量x是幂的底数，x∈R，其图象是抛物线，而y＝2x是指数函数，x是指数，其图象是单调递增的指数函数图象．2．幂函数图象能过第四象限吗？提示：不能．对幂函数y＝xα而言，当x0时，必有y0，故幂函数图象不过第四象限.课堂互动讲练考点突破幂函数的概念主要考查幂函数的解析式的特征．若函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m＝________.【思路点拨】只要使m2－m－1＝1，就成为幂函数．例1【解析】令m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.当m＝2时，函数y＝x－13，当m＝－1时，函数y＝x2，都是幂函数．【答案】2或－1【名师点拨】y＝xα其特征底数为自变量x，指数α为常数，且系数为1.互动探究1在本例中，若当x∈(0，＋∞)时，y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，m取何值？解：∵函数在(0，＋∞)上为减函数，∴－5m－3＜0，即m＞－35，故m＝－1舍去，∴m＝2.根据幂函数图象的特征，待定解析式，利用图象解决问题．幂函数的图象及应用点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时：①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)?例2【思路点拨】用待定系数法求解析式；结合图形解决x的取值问题．【解】(1)设f(x)＝xα.因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将(2，2)代入f(x)＝xα，得2＝(2)α，解得α＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xβ.因为点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，14)代入g(x)＝xβ，得14＝(－2)β，解得β＝－2，即g(x)＝x－2.(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示．由图象可知：①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．【名师点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；②根据已知条件求出α的值；③写出幂函数的解析式．互动探究2本例中，若g(x)上点(－2，14)改为(－2，－12)，该题答案如何？解：(1)g(x)＝x－1.(2)分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)g(x)．对于幂函数、根据幂的运算性质，转化为常见函数的解析式形式求定义域、值域．幂函数的定义域、值域求下列函数的定义域和值域．(1)y＝x－23；(2)y＝x－34.例3【思路点拨】先将分数指数幂转化为根式，然后根据根式有意义求解．【解】(1)y＝x－23＝13x2.∴x2≠0，即x≠0，∴函数y＝x－23的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，值域为(0，＋∞)．(2)y＝x－34＝14x3，∴x3＞0，即x＞0.∴函数y＝x－34的定义域为{x|x＞0}，值域为(0，＋∞)．【名师点拨】幂函数的定义域要根据解析式来确定，当幂函数的指数为分数形式时，需将其转化为熟悉的根式形式，利用根式的有关要求求出自变量的取值范围．方法感悟方法技巧1．利用幂函数的定义，抓住其本质特征，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．(如例1)2．对于幂函数y＝xa的图象，在直线x＝1的右侧，若图象越高，则a的值就越大．如例2.3．利用幂函数图象解题时，要抓住幂函数图象的交叉点(分界点)在第一象限为(1,1)，在第二象限为(－1,1)，第三象限为(－1，－1)．失误防范1．注意区分幂函数y＝xα与指数函数y＝ax的区别，二者极易混淆．2．注意区分幂函数与正比例函数、反比例函数、二次函数的区别．