3.4.2均值不等式习题课

3.4.2基本不等式的应用学问是苦根上长出来的甜果abba21.定理如果a,b是正数,那么(当且仅当ba时取“=”)..2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.P1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝S，S为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.2最值定理：（推论）(当且仅当ba时取“=”).ba时取“=”).(当且仅当ba时取“=”).ba时取“=”).(当且仅当ba时取“=”).abba2(当且仅当ba时取“=”).1.定理如果a,b是正数,那么abba2(当且仅当ba时取“=”).复习214S1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝S，S为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.214S例1、已知：0＜x＜31，求函数y=x（1-3x）的最大值利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件即x=61时ymax=121∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜31则1-3x＞0；∵0＜x＜31，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=313x（1-3x）≤2)2313(31xx121当且仅当3x=1-3x可用均值不等式法:解:已知：0＜x81，求函数y=x（1-3x）的最大值解：121∵0＜x≤81∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=313x（1-3x）≤2)2313(31xx121maxy如此解答行吗？上题中只将条件改为0x1/8,即:提醒：均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。练一练：下列四个命题中，正确的是：222211A.0,2,222B.sin(0,)sinsin2sin22,2211C.12,111211D.lg0lg2,lglg2yxxyxxxyxxyxxxyxyxxxyxxyxxx函数其中故该函数的最小值为函数其中故该函数的最小值为故的最小值为函数其中故该函数的最小值为运用公式的各项为正等号运用公式的各项为正C例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值错解:221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即的最小值为yx1124过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：例2已知正数x、y满足2x+y=1，求yx11的最小值解:223当且仅当yxxy2即:xy2时取“=”号122yxxy而222221yx即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23正确解答是:练习；已知x0，y0，191xy求x+y的最小值。例题3:.21,,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证dx22,,xdx则另一边长为设矩形的一边长为如图证明一)(22222xdxxdxS面积2222221)2(dxdx.22,222时等号成立当且仅当dxxdx.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形.21,,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证证法二dcossin,,dd和则矩形的两边分别为角为设矩形一边与直径的夹如图cossinddS矩形的面积,2sin21cossin22122dd2max21,4,12sindS时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形.21,,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证.,,,222xySdyxyx面积则设矩形的边长为如图证法三2max21,dSyx时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形dxy,222xyyx222212dyxxyS3.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元,以后逐年增加0.2万元，问这汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？1、设且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。Rba,242、求函数f(x)=x2(4-x2)(0x2)的最大值是多少4训练3.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元,以后逐年增加0.2万元，问这汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？n解：设使用年平均费用最少由条件知：汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列0.20.22nn因此，汽车使用n年的总维修费用为万元0.20.2100.92ynnnny设汽车的年平均费用为万元，则有：2100.1nnn11100nn101210123nn101010nnn当且仅当即时等号成立答：这汽车使用10年时，它的年平均费用最少。（１）各项或各因式为正（２）和或积为定值（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能；创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；１、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。1、求函数(x0)的最大值为.2、建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.3、教材习题3.4P100B1、221yxx作业