行列式

数学写作论文题目:不等式的证明方法及其应用专业代码:070701作者姓名:王文倩学号:2009200920单位:2009级04班指导教师:刘希强2013年1月09日数学写作ii原创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名:陈改丽日期2013年1月09日指导教师签名:刘希强日期2013年1月09日数学写作iii目录第一章引言……………………………………………………………………………………1第二章行列式的定义及性质…………………………………………………………………12.1行列式的定义……………………………………………………………………………12.1.1排列………………………………………………………………………………12.1.2定义………………………………………………………………………………12.2行列式的性质……………………………………………………………………………2第三章行列式的一些计算方法和技巧……………………………………………………33.1化三角法…………………………………………………………………………………33.2降阶法……………………………………………………………………………………43.3递推法……………………………………………………………………………………53.4辅助行列式法……………………………………………………………………………63.5拆行（列）法………………………………………………………………………………73.6定义法……………………………………………………………………………………93.7利用范德蒙行列式………………………………………………………………………9第四章行列式理论的应用…………………………………………………………………104.1行列式性质的应用举例…………………………………………………………………104.1.1解方程……………………………………………………………………………104.1.2计算行列数………………………………………………………………………104.1.3计算范德蒙行列式………………………………………………………………114.2范德蒙行列式的计算应用……………………………………………………………114.2.1利用行列式的性质转化范德蒙行列式…………………………………………114.2.2利用乘法规则转化为范德蒙行列式……………………………………………124.3行列式在多项式理论中的应用………………………………………………………134.4行列式在实践中的应用………………………………………………………………14第五章结束语…………………………………………………………………………………14参考文献………………………………………………………………………………………16致谢………………………………………………………………………………………………17数学写作iv摘要行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法.行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用.本文总结了行列式的定义和性质，讨论了不同类型的行列式的计算方法，给出了行列式在线性代数理论中的应用.关键词升降阶法；递推法；化三角法；范德蒙行列式；线性变换.AbstractThedeterminantisanimportantcomponentofthetheoryofalgebra.Thegeneralmethodofcalculatingthedeterminantdoesnotexist,anddifferentdeterminateshavedifferentcomputingmethods.Thetheoryofdeterminantisusedwidelyinthesolutionoflinearequations,thejudgmentofthelinearcorrelation,thetheoryofthelinearspace,andthelineartransformation,etc.Thepapersummarizesthedefinitionandpropertiesofdeterminant,discussesthecomputingmethodsaboutdifferenttypesofdeterminants,andgivestheapplicationsofdeterminantinlinearalgebratheory.Keywords.IncreaseandDecreasetheDegree;Arecursivemethod;Trianglemethod;Vandermonderdeterminant;Lineartransformation..数学写作1第一章引言行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具.行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题.时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用.行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分.特别是n阶行列式的计算（例如范德蒙行列式），在学习过程中，普遍存在很多困难，难以掌握，为此该论题将在理论的完善上和风格上有所突破，以期望达到浅显易懂效果.行列式定义是一个学习难点，郭时光在文[6]给出行列式的一个矩阵式定义，并且证明了这个定义与传统的行列式定义是等价的.书[1-5]中系统介绍了行列式的各种性质以及其证明过程.文献[7-20]在行列式的计算与应用方面都进行了深入探讨,并给出了不同行列式的计算技巧及其在不同领域的应用.本文主要研究行列式理论的总体概况，整理了行列式的定义、性质、计算技巧，并举例说明了行列式性质在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论以及行列式计算等学科中的应用.第二章行列式的定义及性质2.1行列式的定义2.1.1排列在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列.2.1.2定义n阶行列式数学写作2111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjnjaaa(1-1)的代数和，这里njjjj321是n2,1的一个排列，每一项（1-1）都按下列规则带有符号：当njjjj321是偶排列时，（1-1）带有正号，当njjjj321是奇排列时，（1-1）带有负号.这一定义可以写成12121211121()212221212(1)nnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa(1-2)这里表示对所有n级排列求和.2.2行列式的性质性质1.行列互换，行列式不变.即nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立.性质2.对换行列式两行的位置，行列式反号.性质3.若行列式有两行相同,则行列式等于0.性质4.以一数乘行列式的一行,等于乘行列式，或者说一行的公因式可以提出去.即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211推论1.若行列式某行（列）元素都是0,则行列式等于0.由性质4和性质3又可得到:数学写作3推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0.性质5.行列式具有分行相加性.即：nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211=nnnnnnaaabbbaaa212111211+nnnnnnaaacccaaa212111211性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变.nnnnknhkiniinnnnnknkkkninkikinaaaaaaaaaaaaaaaaaacaacaacaaaaa212121112112121221111211第三章行列式的计算方法与技巧3.1化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.这是计算行列式的重要方法之一.利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式，然后将行列式化为三角形行列式计算.原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式.例1.计算n级行列式bbbbbabbbbabbbbac这个行列式的特点是每行都有元素a，其余1n各元素是b.根据行列式性质把第数学写作4一行的若干倍加到另一行,行列式值不变，可得bbbbnababbnabbabnabbbbnac1111abbbabbbabbbbna11111把第二行到第n行都分别加上第一行的-1倍，就有babababbbbnac00000000011这样就得到一上三角形的行列式，即得11nbabnac.3.2降阶法设ijnaD为n阶行列式,根据行列式的按行(列)展开定理有niAaAaAaininiii,,2,1D2i211n或njAaAaAanjnjjjj,,2,1D2211jn其中ijA为Dn中的元素ija的代数余子式.按行(列)展开法可以将一个n阶行列式化为n个1n阶行列式计算.若继续使用按行(列)展开法,可以将n阶行列式降阶直至为许多个2阶行列式来计算,这是计算行列式的又一基本方法.但一般情况下,按行(列)展开并不能减少计算量,仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时,它才能发挥真正的作用.因此,应用按行(列)展开法时,利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素,再按该行(列)展开.例1.设n阶行列式数学写作51212222111211nnnnnnaaaaaaaaa且满足,,,2,1,,njiaajiij对任意数b,求n阶行列式?211222111211bababababababababannnnnn解：bababababababababannnnnn211222111211bababbababbababbabaababaababaannnnnnnnnnn2222112212222111211nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabbababababababaaabaaabaaa22221121221111212222111211111nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabaaaaaabbaaabaaabaaa22221121221111212222111211111111