二次函数的图像和性质教案

1二次函数的图像和性质适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点二次函数的定义；二次函数的图像；二次函数的性质。教学目标1.理解二次函数的有关概念．2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．教学重点会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．教学难点熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．2教学过程一、课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y＝2x2的图像，并根据图像谈论他的性质.3二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.4三、知识讲解考点1形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）5考点2二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（abacab44,22）为顶点，以直线y＝ab2为对称轴的抛物线。在a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜ab2时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞ab2时，y随着x的增大而增大。在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜ab2时，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧，即当x＞ab2时，y随着x的增大而减小。6考点3二次函数取得最值点当a＞0，在x＝ab2时，y有最小值，y最小值＝abac442，当a＜0，在x＝ab2时，y有最大值，y最大值＝abac442。7四、例题精析考点一二次函数的图象及性质例1(1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是()A．(－1,8)B．(1,8)C．(－1,2)D．(1，－4)(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)8【规范解答】(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b2a＝－－6－＝－1，4ac－b24a＝－－－2－＝8，∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞9考点二利用二次函数图象判断a，b，c的符号例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)10【规范解答】：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③11考点三二次函数图象的平移例3二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位12【规范解答】首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C13考点四确定二次函数的解析式例4如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．14【规范解答】(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC.∴OA＝EB＝EA.设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A，B，C三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)．(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3，代入A的坐标(1,0)，得a＝－3.∴抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2＋3.15五、课堂运用【基础】1、已知二次函数y＝－12x2＋x＋4.(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？16【规范解答】由题意可设函数关系式为y＝a(x－1)2＋5，∵图象过点(0，－3)，∴a(0－1)2＋5＝－3，解得a＝－8.∴y＝－8(x－1)2＋5，即y＝－8x2＋16x－3.172、如图J22­2­2，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1,0)，B(3,2)．(1)求m的值和抛物线的关系式；(2)求不等式x2＋bx＋cx＋m的解集(直接写出答案)．图J22­2­218【规范解答】(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1,0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.即m的值为－1.∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1,0)，B(3,2)，∴0＝1＋b＋c，2＝9＋3b＋c，解得b＝－3，c＝2.∴二次函数的关系式为y＝x2－3x＋2.(2){x|x1或x3}．193、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图J22­3­2.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．图J22­3­220【规范解答】(1)y＝－35x2＋3x＋1＝－35x－522＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x＝4时，y＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC.∴这次表演成功．214、已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）求反比例函数的关系式；（2）求点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？(21)P，(1)Qm，QxPOQxy1221-1-2-2-122【规范解答】（1）设反比例函数关系式为，反比例函数图象经过点．．反比例函数关第式．（2）点在上，．．（3）示意图．kyx(21)P，2k2yx(1)Qm，2yx2m(12)Q，23【巩固】1、．已知：抛物线经过点．（1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）2(1)yxbxc(12)Pb，bc3b3bPPAyyAB2BPPA24【规范解答】1）依题意得：，．（2）当时，，抛物线的顶点坐标是．（3）当时，抛物线对称轴，对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，且．．．又，．抛物线所对应的二次函数关系式．2(1)(1)(1)2bcb2bc3b5c2225(1)6yxxx(16)，3b112bxP(12)Pb，2BPPA(32)Bb，122b5b2bc7c247yxxyxOBPA252、已知抛物线cbxaxy2与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达势力的线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.求使点运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.26【规范解答】解：（1）抛物线的解析式为3518532xxy；（2）线段OA的三等分点为D（0，1）或（0，2）；（3）直线DC的解析式为151xy或252xy；（3）点M（0，23）关于x轴对称的点M’（0，23），点A（0，3）关于抛物线的对称轴x＝3对称的点为A’（6，3），连结M’A’，则M’A’＝215.根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M’A’的长就是所求点P运动的基本最短总路径的长.直线M’A’的解析式为2343xy，点x轴交于点E（2，0），与抛物线的对称轴交于点F（3，43）.27【拔高】1、一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．28【规范解答】（1）令，得，点的坐标是……1分令，得，点的坐标是…（2）二次函数的图象经过点，，解得：．二次函数的解析式是，函数的最小值为．0y3xA(30)，0x3yB(03)，2yxbxcAB，0933bcc23bc2yxbxc223yxx2223(1)4yxxx223yxx4292、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3)在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=21x+b(bk)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.30【规范解答】(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．31依题意翻折后的图象如图所示．当直线bxy21经过A点时，可得23b；……7分当直线bxy21经过B点时，可得21b．……8分由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为2321b．32课程小结1、二次函数的图象及性质[来源:学科网ZXXK]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象(a＞0)(a＜0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a增减性当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；当x＞－b2a时，当x＜－b2a时，y随x的增