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第1页(共9页)第二讲导数、微分及其应用一、导数、偏导数和微分的定义对于一元函数yfx0limhfxhfxdyyfxdxh对于多元函数,zfxy0,,,limxhfxhyfxyzfxyxh对于函数微分yxxfxxdy2222zzxydzxyxyzxy注:注意左、右导数的定义和记号。二、导数、偏导数和微分的计算:1)能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分;2)隐函数、参数方程的导数3)高阶导数:特别要注意莱布尼茨公式0nnknkknkuvCuv的运用。例1:求函数arcsinyx在0x处的n阶导数。解:2221,111xyyxxx,所以有21xyxy(1)利用莱布尼茨公式对(1)两边求2n阶导数得12121212222122nnnnnnnnxyCyxyCxyCy当0x时,22200230nnnnyynny22020nnyny由此可得222202224200nynny第2页(共9页)22222122021231021231nynnynn例2:求211fxx的n阶导数。解:ixixixxf112111211!1!121nnnnnixnixnixf111212!1nnnnixixxin设sincos,sincosirixirix其中,xarcxrcot,12,则有xarcnxnxarcnixxinxfnnnnnncot1sin1!1cot1sin2112!1121212注:计算时注意一阶微分不变性的应用。4)方向导数与梯度三、导数、偏导数及微分的应用1)达布定理:设fx在,ab上可导,若fafb则对介于,fafb的一切值c,必有,ab,使得fc。证明:fx在,ab上可导,则fx在,ab上一定有最大值和最小值。1、如果,fafb异号,无妨设0,0fafb,由于00lim,limhhfahfafbhfbfafbhh,由极限的保号性,当x充分接近a时有fxfa;当x充分接近b时有fxfb,这就说明,fafb不可能是fx在,ab上的最大值,所以一定存在,ab,使得f是fx在,ab上的最大值,由费马定理可得0f。2、对于一般的fafb的情形,设c是介于,fafb的值,考虑函第3页(共9页)数Fxfxcx,则有,FafacFbfbc异号,由前面的证明可得,存在,ab有0Ffc,即fc。2)罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn00200000!!2其中101!1nnnxxnfxR,这里在x与0x之间的某个值。3)一元函数的单调性及极值、最值4)一元函数的凹凸性:fx在区间I上凹:12,xxI和12,R,若121,则11221122fxxfxfx;fx在区间I上凸:12,xxI和12,R,若121,则11221122fxxfxfx;性质:1、如果fx在区间I上是凹的,则12,,,nxxxI和12,,,nR,若121n,一定有11221122nnnnfxxxfxfxfx;2、如果fx在区间I上是凸的,则12,,,nxxxI和12,,,nR,若121n,一定有11221122nnnnfxxxfxfxfx证明:因为21122111211111nnnnxxxxxx其中211111n,所以用数学归纳法可证明以上结论。例3:证明:若12,,,0naaa,则有第4页(共9页)1212nnnaaaaaan证明:考虑函数ln0fxxx,因为211,0,0fxfxxxx所以0x时,fx是凹函数。因此对于12,,,0naaa由性质有12121lnlnlnlnnnaaaaaann1212lnlnnnnaaaaaan1212nnnaaaaaan5)多元函数几何应用6)多元函数的极值:拉格朗日乘数法。例4:设fx在,ab上连续,在,ab上可导,0fafb。又gx在,ab上连续,证明:至少存在一点,ab使得fgf。证明:因为gx在,ab上连续,所以gx在,ab上存在原函数Gx,即有Gxgx。考虑函数,,GxFxefxxab,则有0FaFb,由罗尔中值定理可得至少存在一点,ab使得0GGFefgef因此至少存在一点,ab使得fgf。例5:设函数fx在[,)a上连续,在,a上可导,(1)如果limxfafx,证明:至少存在一点,a,使得0f。(2)如果1fa,且对一切xa有axfxe,证明:至少存在一点,a,使得afe。证明:(1)如果函数fx在[,)a上是常数,则对于任意的,a都有0f。下面设fx不是常数,此种情形下存在,ca使得fafc,第5页(共9页)无妨设fafc,取2fcfa,因为limxfafx,所以存在0X,当xX时有22fcfafafcfxfafxfc因此我们有fXfc,由此我们可得fx在,aX上的最大值不在端点取得,由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点,,aXa使得0f(2)因为lim0axxe,0axfxe,由夹逼准则得lim0lim0xxfxfx考虑函数axFxfxe,则有Fx在[,)a上连续,在,a上可导,并且lim0xFaFx,由(1)的结论可得至少存在一点,a,使得0aaFfefe。例6:设函数fx在区间0,1上可微,00,11ff,12,,n是n个正数,且121n,证明:存在12,,,0,1nxxx使得12121nnfxfxfx证明:利用介值定理,存在12,,,0,1nccc使得11212,fcfc31231121,,nnfcfc,无妨我们设00,1ncc,对函数fx分别在以1,,0,1,,1iiccin为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得,至少存在1ix在1,,0,1,,1iiccin之间使得111111110,1,,1iiiiiiiiiiiifcfcfxccinccccfx因此我们有12102110121nnnnnccccccccfxfxfx第6页(共9页)例7:设fx在,上可导,00,ffxfx,证明:0fx。证明:1)设fx在10,2内的最大值为0fx,则有000001002fxfxfxffxfx这就得到在10,2上有0fx,特别是102f;2)设fx在1,22kk上有0fx,设设fx在12,22kk内的最大值为1fx,则有111111110222kkfxfxfxffxfx这就得到在12,22kk上有0fx,由数学归纳法可得在[0,)上有0fx。同理可得在(,0]上有0fx。例8:设fx在,ab上有二阶导数,证明:存在,ab,使得3224babaabfxdxbaff证明:设xaFxftdt,将Fx在点2ab处展成三阶泰勒公式2322222262abFFabababababFxFFxxx当xa时,231202222262abFFabababababFF231220222262abaabffababababftdtf(1)第7页(共9页)当xb时,23222222262abFFababbababaFbFF23222222262abbaaabffabbababaftdtftdtf(2)21得31212242baffabftdtfbaba因为fx在12,可导,且122ff在12,ff之间,由达布定理可得,存在12,,ab使得122fff,此时即有3224babaabfxdxbaff例9:设fx在,ab上二阶可导,证明:对于,xab,存在,ab使得2fxfafbfxfbaxabx证明:构造函数22221111ftttfxxxFtfaaafbbb,则有0FaFxFb,利用罗尔中值定理,存在12,,,axxb有120FF,再利用一次罗尔中值定,存在12,,ab
本文标题:大学课件-高等数学课件导数、微分及其应用
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