高数下试卷分类解析-01微分学

高数下试卷分类解析-微分学2011级1.03sinlimxyxyx32.设sinxxxy,则,44dzdx3.曲面20zzexy在1,2,0处的切平面方程是240xy二、（本题8分）设函数f具有二阶连续偏导数,求函数,xufxy的混合二阶偏导数解:121uffxy，从而21222212222222232111uxxxxffffffxyyyyyyyy同理（或由2uyx连续）可得2122222321uxxfffyxyyy三、（本题8分）求二元函数22zxxyy在点1,1沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向z的值不变。解2222zzdzxdxxdyydxydyxydxyxdydxdyxy1,11,11,1,2,23,3zzgradzxyyxxy方向导数1,113353,32,1555zgradzll沿梯度反方向减少得最快，即3,3方向，单位化为22,22沿垂直梯度的方向z的值不变，即1,10gradzT的T方向，解得22,22T2010级1.函数2249zxy在点2,1的梯度为gradz16,182.函数44222zxyxxyy的极值点是1,1,1,14.设22sin,2,xAeyxyzxzy,则1,0,1divA0三、（8分）证明:,fxyxy在点0,0处连续,0,0xf,与0,0yf存在,但在0,0处不可微.证因为00lim,00,0xyfxyf,所以,fxyxy在点0,0处连续;00,00,0000,0limlim00xxxfxffxx,00,0,00,0lim00yyfyffy,所以0,0xf,与0,0yf存在,但220000,00,0limlimxyxyxyzfxfyxy不存在(只要取0ykx便可证明),从而该函数在0,0处不可微.四、（本题8分）设函数,uxy有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式cos,sinxryr,将uuxyyx转化为,r下的表达式.解:cossinuuxuyuurxryrxysincosuuxuyuurrxyxy从而sincoscos,sinuyuuyuxrryrr故cossinsincosuuyuyuuxyxyyxrrrr2009级1、[4分]00391lim.6xyxyxy3、[4分]]向量场223(2)Axyixzyjyzk的散度为3;4、[4分]22xuxy在点0,1处的dudx二、[8分]设22,yzfxx，其中函数f具有二阶连续偏导数,求2zxy三、[8分]求函数22,fxyxy在圆域224xy上的最大值与最小值。（二、231222222422zyyyfffxyxxx；三、最大值2,04f，最小值0,24f）2008级1、函数,fxy在点,xy处可微是它在该点偏导数zx与zy连续的必要条件，又是它在该点有方向导数的充分条件2、[4分]向量场2cosxyAeixyjxzk的散度为sin2xyyexxyxy.向量场2332Bzyixzjyxk的旋度为2,4,6.3、[4分]]设,,,zfxxyfuv有连续偏导数，则dz122fyfdxxfdy6、设3322,339,0fxyxyxyxx，则它有极小值1,05f二、[8分]设zexyz，求22zx。解：两边取微分，得zedzxydzxzdyyzdx,zzxzdyyzdxyzdxxzdyedzxydzxzdyyzdxdzexyxyzxy从而zzxxzx，222211zzxzxzzxzzzxxxxxxxzxxz22222322332222211221111zzzzxzzxzzzzxzzzzzxxxzxzxzxz三、[7分]设长方形的长x、宽y、高z满足1111xyz，求体积最小的长方体。解：令1111Lxyzxyz，则2221110,0,0xyzLyzLxzLxyxyz，从而xyz再由0L即约束条件，可得11113xyz，从而3xyz。由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。十一、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设l是曲线22260xyzxyz在点1,2,1处的切向量，求函数,,fxyzxyyzzx在该点沿l的方向导数解：方程组22260xyzxyz两端对x求导，得222010xyyzzyz，把1,2,1代入得12010yzyz，解得01yz，于是在点1,2,1处的切向量为1,,1,0,1tyz，单位切向量为11,0,22t所求方向导数为1,2,11111,0,,,,0,1,2,102222xyzfffft。十二、[7分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面,0,,,xaybFabczczc为常数，其中,Fuv有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令,,,xaybGxyzFzczc，则1211,xyGFGFzczc，222zaxbyGFFzczc从而曲面在点,,xyz处的切平面为122220XxYyaxbyFFFFZzzczczczc，其中,,XYZ为动点。显然,,,,XYZabc时成立，故切平面均过,,abc。证毕2007级1、[4分]设432zxyx，则1,2dz3412dxdy2、[4分]曲线cos:sinxatyatzct在点,0,0a的切线方程为0xayzac.3、[4分]已知2222,,0,0(,)0,,0,0xyxyxyfxyxyxy，则0,xfy04、[4分]函数22zxy在点01,2P处沿从点01,2P到点12,23P方向的方向导数是123六、[7分]求22uxyz在约束条件2221xyz下的最大值和最小值解：令222221Lxyzxyz则2221111202332201322,,,233220122133xyzxxxLxLyyyoryLzxyzzzz122144122144,,3,,,3333333333333uu由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为3七、[7分]设,xzfxy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxxy.解：21212122222231111,zzxxfffffffxyxyyyyyy十、[7分]（化工类做）在曲面22122zxy上求出切平面，使所得的切平面与平面42210xyz平行。解：曲面的法向量4,,1nxy应与平面平面42210xyz的法向量平行，从而有411,1,4222xyyx，由于切点在曲面上221121122z因此切平面为1421210,2102xyzxyz十一、[6分]（化工类做）设,zzxy是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中x可导，求dz解：对方程两边取微分得22xdxydydzdxdydz即12222dzdzdzxdxydydxdyxdxydy221xdxydydz十二、[6分]（化工类做）证明函数222222221sin,0,0,0xyxyxyfxyxy在原点0,0处可微，但,xfxy在点0,0处不连续解：由定义22220010sin0,00,000,0limlim000xxxxfxfxfxx；同理0,00yf由于222222222222000011sin0,00,0sinlimlim0xyxxyyxyfxfyxyxyxyxyxy从而函数,fxy在原点0,0处可微。当220xy3222222222111,2sincos22xfxyxxyxyxxyxy22222211,2sincosxxfxyxxyxyxy由于222011,02sincos,lim,0xxxxfxxfxxxx不存在，因此,xfxy在点0,0处由于00lim,xxyfxy不存在而不连续。2006级1.若,zfxy在点00,xy处可微，则下列结论错误的是（B）每题3分(A）,zfxy在点00,xy处连续；(B),,,xyfxyfxy在点00,xy处连续；(C),,,xyfxyfxy在点00,xy处存在；(D)曲面,zfxy在点0000,,,xyfxy处有切平面.2.二重极限22400limxyxyxy值为（D）(A）0；(B)1；(C)12；(D)不存在4.已知直线34:273xyzL和平面:4223xyz，则（B）(A）L在内；(B)L与平行，但L不在内；(C)L与垂直；(D)L与不垂直，L与不平行（斜交）七、（本题6分）设函数222222,0,0,0xyxyxyfxyxy，证明：1、,fxy在点0,0处偏导数存在；2、,fxy在点0,0处不可微。解：0,00,00,0lim0xxfxffx,00,0,00,0lim0yyfyffy2200,0,00,0limxyxyfxyfxfyxy22200lim()xyxyxy极限不存在故不可微八、（本题7分）设,,yzxfx