同济大学出版社-基础模块-下册-第八单元-直线和圆的方程

数学基础模块（下册）第八单元直线和圆的方程两点间距离公式及中点公式第一节直线的倾斜角与斜率第二节直线的方程第三节两条直线的位置关系第四节第五节第八单元直线和圆的方程圆的方程第五节直线与圆的位置关系第六节直线的方程与圆的方程应用举例第七节第五节引例在我们的日常生活中，直线和圆的物体随处可见.比如城市公路的立交桥不仅要考虑它的实用性，还要注意它的美观性.如北京某立交桥（见图8-1），它是由一些直线和圆组成的.通过圆和直线的搭配可以实现不同方向的车辆行驶，从而缓解城市交通的拥堵状况.图8-1两点间距离公式及中点公式第一节一、两点间的距离公式在初中的数学知识中，我们学习了怎么求数轴上的两点间的距离.一般地，如果x轴上的两点A与B的坐标分别是x1，x2，那么A与B的距离为即x轴上的两点的距离是这两点坐标差的绝对值.同样，y轴上的两点间的距离也是两点坐标差的绝对值.下面我们来讨论已知平面直角坐标系中任意两点的坐标，如何计算这两点的距离.设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，从A，B两点出发分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，再过A作BB1的垂线，垂足为C，如图8-2所示.在直角三角形ABC中，根据勾股定理有一、两点间的距离公式图8-2一、两点间的距离公式由此得到坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)间的距离为特别地，原点O与任意一点A(x,y)间的距离为一、两点间的距离公式计算A(－3,2)、B(3,－6)两点间的距离.解A、B两点间的距离为【例1】一、两点间的距离公式一、两点间的距离公式做一做（1）A(－1,4),B(3,7)（2）A(1,1),B(5,7).二、线段中点坐标公式设A(x1,y2)，B(x2,y2)是平面直角坐标系内的任意两点，点M(x0,y0)是线段AB的中点.过点A，B，M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，M1，M2，如图8－3所示.图8－3因为点M为线段AB的中点，根据平行线的性质，点M1和点M2分别是线段A1B1和A2B2A1M1=M1B1,A2M2=M2B2所以x0－x1=x2－x0,y0－y1=y2－y0，即这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式.二、线段中点坐标公式求连接下列两点的线段的中点坐标：（1）A(－3,4),B(-2,－7)；（2）A(a,0),B(0,b).解（1）设线段AB的中点坐标为（x0,y0），则根据中点坐标公式可得【例2】所以AB的中点坐标为.(2)设线段AB的中点坐标为（x0,y0），则根据中点坐标公式可得二、线段中点坐标公式所以AB的中点坐标为（-1,2）.已知三角形ABCA(1,0),B(－2,1),C(0,3)，求BC边上的中线AD的长度.解设BC边上的中点坐标为D(x0,y0)B(－2,1),C(0,3)得【例3】所以BC边上的中点D的坐标为(－1,2).根据两点间的距离公式可得AD的长度为二、线段中点坐标公式做一做1.（1）A(-7,4),B(3,8)（2）A(3,1),B(2,5).2.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(0,-1),C(-2,5)，求BC边上的中线AD的长度.二、线段中点坐标公式直线的倾斜角与斜率第二节直线l在直角坐标系中与两个坐标轴有不同的夹角，其中直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫作直线l的倾斜角，如图8-4所示的角α.图8-4观察图8-4，我们可以得出直线l的倾斜角的取值范围.（1）当直线l的倾斜角是一个锐角时，如图8-4（a）所示，0°α90°；（2）当直线l的倾斜角是一个钝角时，如图8-4（b）所示，90°α180°；（3）当直线l与x轴垂直时，如图8-4（c）所示，α=90°；（4）当直线l与x轴平行或重合时，如图8-4（d）所示，规定α=0°.因此，对任意的直线l，它的倾斜角α的取值范围是0°≤α180°.直线l的倾斜角为α（α≠90°），则α的正切值叫作这条直线的斜率，通常用小写字母kk=tanα.当α=90°时，直线l的斜率不存在，当α≠90°时，直线l都有确定的斜率.当α为钝角时，k0.（1）（2）（3）（4）根据直线倾斜角的取值范围，直线的斜率可以分为以下4种情况：当α为锐角时，k0；当α=90°时（直线平行或重合于y轴），k不存在；当α=0时（直线平行或重合于x轴），k=0；【例1】下面我们研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾斜角和斜率的大小.8-5所示，设图中点A(x1,y1),B(x2,y2)为直线l上的任意两点，我们可以得到：图8-5如图8-5（a）、（b）所示，当α≠90°时，x1≠x2，如图8-5（c）所示，当α=90°时，x1=x2，k=tanα的值不存在，此时直线l与x轴垂直.因此，设点A(x1,y1),B(x2,y2)为直线l上的任意两点，则直线l的斜率为（1）倾斜角为60°；（2）直线经过点A(－2,3),B(2,－1).解（1）由于倾斜角为60°，故直线的斜率为【例2】（2）由于直线经过点A(－2,3),B(2,－1)，x1≠x2，所以直线的斜率为做一做1.判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出斜率的值.（1）直线的倾斜角为45°（2）直线过点A(2,－1),B(3,5)（3）点A(5,－2),B(5,4)在直线上.2.设点A(－3,1),B(－5,3)在直线l上，求直线l的斜率和倾斜角.直线的方程第三节一、直线的点斜式方程已知直线l的斜率为k，并且经过点P0(x0,y0)，如图8-6所示，求直线l的方程.图8-6设点P(x,y)是直线上不同于点P0的任意一点，因为直线l的斜率为k，则根据过两点的直线的斜率公式，得即y－y0=k(x－x0)，也即斜率为k，并且经过点P0(x0,y0)的直线的方程为y－y0=k(x－x0).由于这个方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以叫作直线的点斜式方程.一、直线的点斜式方程直线经过点P(2,3)，倾斜角为45°，求直线的方程.解因倾斜角α为45°，故直线的斜率为k=tanα=tan45°=1.又因为直线经过点P(2,3)，则根据点斜式方程得直线方程为y－3=1×(x－2)，即x－y+1=0.【例1】一、直线的点斜式方程一般地，如果直线（或曲线）L与方程F(x,y)=0满足下列关系：（1）直线（或曲线）L上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线（或曲线）L上.那么，直线（或曲线）L叫作二元方程F(x,y)=0的直线（或曲线），方程F(x,y)=0叫作直线（或曲线）L的方程，记作曲线L:F(x,y)=0或者曲线F(x,y)=0.一、直线的点斜式方程直线经过点P1(1,2),P2(－1,－3)，求直线的方程.解因为直线经过点P1(1,2),P2(－1,－3)，由斜率公式得直线的斜率为【例2】根据点斜式方程得直线的方程为一、直线的点斜式方程做一做写出符合条件的直线的点斜式方程.（1）过点A（5，2），斜率为2；（2）过点A（2，1）,B（0，3）.一、直线的点斜式方程如图8-7所示，直线l与x轴交于点A(a,0)，与y轴交于点B(0,b)，则a叫作直线l在x轴上的截距（或横截距），b叫作直线在y轴上的截距（或纵截距）.图8-7二、直线的斜截式方程设直线l的斜率为k，并且在y轴上的截距为b，即直线经过点(0,b)，则直线ly－b=k(x－0)即y=kx+b.斜率为k，在y轴上的截距为by=kx+b这个方程叫作直线的斜截式方程.二、直线的斜截式方程在实际应用时，应如何对方程的点斜式方程和斜截式方程进行选择？想一想二、直线的斜截式方程直线l的倾斜角为150°，且在y轴上的截距为－2，求直线l的方程.解因为直线的倾斜角为150°，所以直线的斜率为【例3】又因为直线在y轴上的截距为－2，所以根据直线的斜截式方程得直线的方程为二、直线的斜截式方程下面我们考虑两种特殊情况，如图8-8所示.图8-8二、直线的斜截式方程如图8-8（a）所示，直线l经过点P(x0,y0)，且平行于x轴.因为直线l平行于x轴，所以倾斜角α=0°，斜率k=0，且经过点P(x0,y0)，根据点斜式方程可得直线l的方程为y－y0=0×(x－x0)，化简得y=y0.这就是经过点P(x0,y0)，且平行于x轴的直线l的方程.特别地，当直线l与x轴重合时，直线的方程为y=0.二、直线的斜截式方程如图8-8（b）所示，直线l经过点P(x0,y0)，且平行于y轴.因为直线l平行于y轴，所以倾斜角α=90°，斜率k不存在，不能用点斜式和斜截式表示.但因为直线l上的每个点的横坐标都等于x0，所以直线l的方程可以表示为x=x0.这就是经过点P(x0,y0)，且平行于y轴的直线l的方程.特别地，当直线l与y轴重合时，直线的方程为x=0.二、直线的斜截式方程做一做写出符合条件的直线的斜截式方程：二、直线的斜截式方程三、直线的两点式方程如图8-9所示，已知直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),由斜率公式可得故直线l的方程为图8-9当y1≠y2y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1≠x2且y1≠y2).由于上述方程是由直线上的两点确定的，所以称为直线的两点式方程.三、直线的两点式方程写出经过下列两点的直线方程.（1）A(1,3),B(-4,6);(2)A(0,3),B(-6,0).解（1）直线经过点A（1，3），B（-4，6），由直线的两点式方程得【例4】整理得三、直线的两点式方程（2）直线经过点A（0，3），B（-6，0），由直线的两点式方程得三、直线的两点式方程做一做1.写出经过下列两点的直线方程.（1）A（4，-1），B（2，2）；（2）A（-1，5），B（3，0）.2.已知两点A（2，5）,B（-1，2），若点P（6，m）在直线AB上，求实数m的值.三、直线的两点式方程四、直线的一般式方程直线的点斜式方程y－y0=k(x－x0)可以化为kx－y+y0－kx0=0直线的斜截式方程y=kx+bkx－y+b=0.由此可以知道，直线的点斜式方程和斜截式方程都Ax+By+C=0.四、直线的一般式方程因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）表示一条直线.Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）（12-7）叫作直线的一般式方程.四、直线的一般式方程说明在本书中，如果不做特殊说明，作为结果，直线方程都要求写成一般式方程.【例5】四、直线的一般式方程做一做1.（1）经过点P(－3,5)，斜率为－2（2）倾斜角为120°，在y轴上的截距为3.2.将下列直线的方程化为一般式方程：四、直线的一般式方程两条直线的位置关系第四节一、两条直线平行平面内不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系.前面我们学习了两条相交直线的交点，下面我们将利用直线的斜截式方程来讨论两条直线平行的条件.如图8-10（a）所示，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线l1平行于l2，那么这两条直线与x轴相交的同位角相等，即两条直线的倾斜角相等，故两条直线的斜率相等；反之，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾斜角相等，即两条直线与x轴相交的同位角相等，故两条直线平行.一、两条直线平行如图8-10（b）所示，两条直线l1,l2的斜率都为0，则这两条直线都与x轴平行，所以直线l1,l2平行.如图8-10（c）所示，两条直线l1,l2的斜率都不存在，则这两条直线都与y轴平行，所以直线l1,l2平行.图8-10一、两条直线平行已知直线l过点A(－3,5)，且与直线y=2x+3平行，求直线l的方程.解因为直线y=2x+3的斜率为2，且直线l与直线y=2x+3平行，所以直线l的斜率k=2.又因为直线l经过点A(－3,5)，所以直线l的方程为y-5=2(x+3)，即2x－y+11=0.【例1】一、两条直线平行因此，判断两条直线是否平行的一般步骤是：（1）判断两条直线的斜率是