直线与圆锥曲线-练习题

1直线与圆锥曲线1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋p2＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为103，则|AB|＝()A.133B.143C．5D.163解析：选D过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋103＝163.3．(2018·聊城二模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y＝2x－3解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝4x1，①y22＝4x2，②①－②得y21－y22＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝42＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C：x24－y29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是()A．没有交点B．只有一个交点C．有两个交点且都在左支上2D．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D直线l的方程为y＝33()x＋13，代入C：x24－y29＝1，整理得23x2－813x－160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|＝()A．3B．4C．32D．42解析：选C由题意可设lAB为y＝x＋b，代入y＝－x2＋3得x2＋x＋b－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝－1＋2b.所以AB中点坐标为－12，－12＋b，该点在x＋y＝0上，即－12＋－12＋b＝0，得b＝1，所以|AB|＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝32.6．(2019·青岛模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为()A.12B．1C.32D．2解析：选D设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx－p2.由y＝kx－p2，x2＝2py得x2－2pkx＋p2＝0，由Δ＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1，则Qp，p2，P－p，p2，∴△APQ的面积为12×2p×p＝4，∴p＝2.故选D.7．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()3A．2B.32C.355D.52解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减得：x1＋x2x1－x2a2＝y1＋y2y1－y2b2，则y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y2＝4b25a2.由直线AB的斜率k＝15－612－3＝1，∴4b25a2＝1，则b2a2＝54，∴双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2＝32.8．(2019·福州模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N，若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：选CFp2，0，直线AB的方程为y＝x－p2.联立得方程组y2＝2px，y＝x－p2，可得x2－3px＋p24＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，则y1＋y2＝x1＋x2－p＝2p，∴M3p2，p，∴N(0，p)，直线MC的方程为y＝－x＋5p2.∴C5p2，0，∴四边形CMNF的面积为S梯形OCMN－S△ONF＝3p2＋5p2·p2－12·p2·p＝7p24＝7，又p＞0，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.故选C.49．(2018·湖北十堰二模)如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A．4B.7C.233D.3解析：选B∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＝2a.又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos60°，∴(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×12，即c2＝7a2，∴e＝ca＝c2a2＝7.故选B.10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为()A．22B．2C．4D．32解析：选A∵l与圆相切，∴原点到直线的距离d＝|m|1＋k2＝1，∴m2＝1＋k2，由y＝kx＋m，x2－y2＝1得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，∴1－k2≠0，Δ＝4m2k2＋－k2m2＋＝m2＋1－k2＝8＞0，x1x2＝1＋m2k2－1＜0，∴k2＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝2mk1－k2，5∴x2－x1＝x1＋x22－4x1x2＝22|1－k2|＝221－k2，∵0≤k2＜1，∴当k2＝0时，x2－x1取最小值22.故选A.11．(2019·安庆模拟)设抛物线x2＝4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足AF―→＝λFB―→，若|AF―→|＝32，则λ的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线x2＝4y得焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，∵|AF―→|＝32，∴y1＋1＝32，解得y1＝12，∴x1＝±2，由抛物线的对称性取x1＝2，∴A2，12，∴直线AF的方程为y＝－24x＋1，由y＝－24x＋1，x2＝4y.解得x＝2，y＝12或x＝－22，y＝2，∴B(－22，2)，∴|FB―→|＝2＋1＝3，∵AF―→＝λFB―→，∴|AF―→|＝λ|FB―→|，∴32＝3λ，解得λ＝12.答案：1212．(2019·武汉调研)已知直线MN过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则|PQ|2|MN|＝________.解析：法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋1，则直线PQ的方程为x＝my.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).x＝my＋1，x22＋y2＝1⇒(m2＋2)y2＋2my－1＝0⇒y1＋y2＝－2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2.6∴|MN|＝1＋m2|y1－y2|＝22·m2＋1m2＋2.x＝my，x22＋y2＝1⇒(m2＋2)y2－2＝0⇒y3＋y4＝0，y3y4＝－2m2＋2.∴|PQ|＝1＋m2|y3－y4|＝22m2＋1m2＋2.故|PQ|2|MN|＝22.法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|＝2b2a＝2，|PQ|＝2b＝2，则|PQ|2|MN|＝22.答案：2213．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l：y＝3(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝163，则p＝________.解析：由y2＝2px，y＝3x－，消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2p＋63，x1x2＝1，所以|AB|＝2x1＋x22－4x1x2＝2p＋29－4＝163，所以p＝2.答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2＝8px(p＞0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px(p＞0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO＝________.解析：设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，7联立得y＝kx，y2＝2px，解得P2pk2，2pk，联立得y＝kx，y2＝8px，解得Q8pk2，8pk，∴|OP|＝4p2k4＋4p2k2＝2p1＋k2k2，|PQ|＝36p2k4＋36p2k2＝6p1＋k2k2，∴S△ABQS△ABO＝|PQ||OP|＝3.答案：315．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．解：(1)抛物线E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由抛物线的定义可知3－－p2＝4，解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2，两式相减，整理得y2－y1x2－x1＝4y2＋y1(x1≠x2)．∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴直线l的斜率kAB＝4y2＋y1＝4－＝－2，∴直线l的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.法二：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，8由y2＝4x，x＝my＋1消去x，得y2－4my－4＝0.设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴y1＋y22＝4m2＝－1，解得m＝－12，∴直线l的方程为x＝－12y＋1，即2x＋y－2＝0.16．(2019·佛山模拟)已知直线l过点P(2,0)且与抛物线E：y2＝4x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点．(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；(2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|·|OD|的值．解：(1)∵A是PC的中点，P(2,0)，C在y轴上，∴A点的横坐标为1，又A在第四象限，∴A(1，－2)．∴直线l的方程为y＝2x－4.(2)显然直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组x＝my＋2，y2＝4x，消去x得y2－4my－8＝0，∴y1y2＝－8，故x1x2＝y214·y224＝4，∵D在以AB为直径的圆上，且在直线OB上，∴AD―→⊥OD―→，设OD―→＝λOB―→＝(λx2，λy2)，则AD―→＝OD―→－OA―→＝(λx2－x1，λy2－y1)，∴AD―→·OD―→＝(λx2－x1)λx2＋(λy2－y1)λy2＝0，即λ2x22－4λ＋λ2y22＋8λ