选修4-5-不等式选讲(教材解读与教学建议)

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。通过回顾复习，体验从特殊到一般.从局部到整体，从具体到抽象的学习过程。•一、本章的地位和作用•二、考纲和课程标准解读•三、教材分析•四、教学建议•1.回顾复习逻辑关系•2.直观感受突出背景•3.自主探究突出应用•4.承前启后突出工具•不等式在必修五中已学过，为什么还在选修中出现？•必修五中学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。•而选修4是在模块必修五的基础上展开的，是必修五的继续、深入和提高，从感性上升到理性.内容上保持相对的完整。使不等式内容及思想方法系统化.体现循序渐进，螺旋上升。以回顾和学习出发，展开局部到整体，特殊到一般，具体到抽象，对不等式基本性质，经系统地归纳、整理。使学生学会研究数学问题的基本方法和通常的研究过程。不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式.2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c;∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a.3．认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义.（1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|.（2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2.（3）证明：4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：5．用向量递归方法讨论排序不等式.6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）.8．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.10．完成一个学习总结报告.课标具体内容要求说明不等式的基本性质理解基本不等式掌握不等式三个正数的算术—几何平均不等式了解回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，掌握二元和三元平均不等式证明和应用，理解二元和三元平均不等式几何背景，理解这些不等式的实质。会求一些特定函数的极值。一般形式的平均不等式课本直接给出结论。求最值时强调“一正、二定、三等.”绝对值三角不等式理解理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：1.ababab2.abaccb绝对值不等式绝对值不等式的解法理解利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。掌握一些典型绝对值不等式的解法。课标具体内容要求说明比较法掌握综合法与分析法掌握反证法理解证明不等式的基本方法放缩法掌握通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。比较法是最基本、最重要的方法。它所依据是实数大小的基本事实，证明不等式时关键有较强的恒等变换技巧。比较法两种中差值法是最基本而重要的一种方法。综合法是由因导果，而分析法是执果索因，命题时总是交替出现。直接由条件推结论困难时用反证法。放缩法证明题时，把握好放缩的度。证明不等式是一定注意“逻辑方法”、“思维方法”、“操作方法、”“构造方法”。课标具体内容要求说明二维形式的柯西不等式理解柯西不等式一般形式的柯西不等式了解认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义（1）证明：柯西不等式向量形式：（2）证明：22222()()()abcdacbd。（3）证明：221212xxyy222323xxyy221313xxyy。用柯西不等式求一些特定函数的极值。理解一般形式柯西不等式的证明思路。排序不等式排序不等式了解要求用向量递归方法讨论排序不等式。理解讨论排序不等式的证明思路，对具有明确大小顺序、数目相同的两列数，考虑它们对应乘积之和的大小关系时，排序不等式是很有用的工具。课标具体内容要求说明数学归纳法了解数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式了解了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。数学归纳法可证明“等式、不等式、几何问题、整除问题。”本讲的核心内容是用数学归纳法证涉及正整数的不等式。会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。（一）新旧教材对比（二）新教材的特点（三）典型问题的处理（1）旧教材：线性逻辑结构；新教材：螺旋上升.（2）总课时：旧教材13课时.新教材16（必修）+18（选修）=34课时（3）内容变化：1.调整了线性规划.2.增加了两个基本不等式（柯西不等式、排序不等式）.（3）内容变化：3.数学归纳法必选必考.新教材作为选修内容.在旧教材中含绝对值不等式的解法是安排在数学（必修）第二册上第六章不等式的第五部分。数学归纳法是安排在数学（必修）第三册数列、极限、数学归纳法部分。4.均值不等式由二元——三元——一般情形.柯西不等式、排序不等式由二元——三元——一般情形.。显性隐性知识的交汇性最强例1、（211P教材例）已知,ab都是正数,且ab,求证:3322ababab.分析:可以把不等式两边相减,通过适当的恒等变形,转化为一个能够明确确定正负的代数式.证明:33223223()()()()aaababaababb22()()aabbab22()()abab2()()abab因为,ab都是正数,所以0ab.又因为ab,所以2()0ab,于是2()()0abab,即3322()()0ababab.所以3322ababab.例2.（212P教材例）如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则糖的质量分数为ab.若在上述溶液中再添加mkg白糖,此时糖的质量分数增加到ambm.将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.可以把上述事实抽象成如下不等式问题:已知,,abm都是正数,并且ab,则amabmb.证明：因为27和36都是正数，所以要证2736只需证22(2736）（）只需证92149218只需证1418只需证1418因为1418成立，所以2736成立例3（24P教材例3）求证:2736.例4（254P教材例）已知,,0abc,求证:222222abbccaabcabc.分析:要证的不等式可以化为222222()abbccaabcabc,即222222222abbccaabcbaccab.观察上式,左边各项是两个字母的平方之积,右边各项涉及三个字母,可以考虑用2222()2xyzxyz.例5（28P教材例3）已知,,,abcdR,求证:12abcdabdbcacdbdac.分析:若把abcdabdbcacdbdac直接通分相加则会使运算非常复杂,不易达到证明的目的.分析此式的形式特点,可以通过适当放大或缩小,使不等式简化,从而得出证明.基本不等式柯西不等式排序不等式定理:设123123,,,,,,,,,nnaaaabbbb是实数,则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab当且仅当0(1,2,,)ibin或存在一个数k,使得(1,2,,)iiakbin时,等号成立.定理解读：1.知识点:二元---三元---一般形式，突出几何的直观性（向量）2.应用功能.怎样用？（1）.正用.（2）逆用（3）.变用（4）活用.定理:设123123,,,,,,,,,nnaaaabbbb是实数,则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab当且仅当0(1,2,,)ibin或存在一个数k,使得(1,2,,)iiakbin时,等号成立.1212222nnα(a,a,,a),β(b,b,,b),αβαβ,αβαβ设222222212121122()()()nnnnaaabbbababab应用举例练习:1.（43P教材习题3改编）设12,,,nxxx是正数,则1212111()()nnxxxxxx与2n的大小关系是_____2.（43P教材习题6）设12,,,nxxxR,且121nxxx,求证:222121211111nnxxxxxxn.定理解读：1.理解“三个”数量特征.2.重点在应用，3.如何用公式4.怎样构造满足定理的条件：“反序和”“乱序和”“顺序和.”5.排序不等式基本应用、简单应用，二维和三维.定理解读：1.理解“三个”数量特征.2.重点在应用，3.如何用公式4.怎样构造满足定理的条件：“反序和”“乱序和”“顺序和.”5.排序不等式基本应用、简单应用，二维和三维.例6.（44P教材例2）设12,,,naaa是n个互不相同的正整数,求证:32122211112323naaaann.分析:12,,,naaa是n个互不相同的正整数,因此它们可以从小到大地排序,观察问题中的式子,可以猜想,与12,,,naaa对应的另一列数是2221111,,,,23n,由此可以联想到用排序不等式证明的思路.一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数0n的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当0nn时命题成立;(2)假设当nk(kN,且0kn)时命题成立,证明1nk时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于0n的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.方法解读：1.体会演绎法的思想2把握第一数学数学归纳法，限制教材中，等式、不等式、几何问题.例7（513P教材例）证明贝努利(Bernoulli)不等式:如果x是实数,且1x,0x,n为大于1的自然数,那么有(1)1nxnx.证明:(1)当2n时,由0x得22(1)1212xxxx,不等式成立.(2)假设当(2)nkk时不等式成立,即有(1)1kxkx.当1nk时,(1)1(1)(1)kxkxx(1)(1)xkx21xkxkx1(1)kx所以当1nk时不等式成立.由(1)(2)可知,贝努利不等式成立.问题解读：1.在数学研究中,人们经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1)nx缩小为简单的1nx的形式,这在数值估计和放缩法证明不等式中可以挥作用.例如,当x是实数,且1x,0x时,由贝努利不等式不难得到不等式(1)111nxnxxx对一切不小于2的正整数n成立。事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数时，仍有类似不等式成立，它们是贝努利不等式的更一般的形式；当是实数，并且满足1或者0时，有(1)1(1)xxx；当是实数，并且满足01时，有(1)1(1)xxx。2.使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由nk时命题成立推出1nk时命题成立这一步.为完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识,如前面学习的证明不等式的各种方法和一些重要的不等式,