2019-2020学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义课时作业（含解析）新人教A版选修2-2

课时作业3导数的几何意义知识点一导数的几何意义1.下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－1答案B解析由题意得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.知识点二导函数的概念3.函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案C解析根据函数在一点处的导数的定义，可知选C.知识点三求曲线在某点处的切线方程4.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定答案B解析由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kAkB0.由导数的几何意义，得f′(xA)f′(xB)．5．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝()A．1B．2C．3D．4答案C解析设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝limΔx→0x0＋Δx2－x0＋Δx＋a]－x20－4x0＋aΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a＝1，即a＝3.6．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝2x上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－Δx＝limΔx→02－2＋Δx＋1Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.7．已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．解因为f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2＋1－x2＋Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，g′(x)＝limΔx→0x＋Δx3＋1－x3＋Δx＝limΔx→0((Δx)2＋3xΔx＋3x2)＝3x2，所以k1＝f′(x0)＝2x0，k2＝g′(x0)＝3x20，由k1k2＝－1，即6x30＝－1，解得x0＝－3366.一、选择题1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0B．－3xC．3D．－3答案D解析f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0－x＋Δx－1＋3x＋1Δx＝limΔx→0(－3)＝－3.2．曲线y＝1x－1在点P(2,1)处的切线的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.3π4答案D解析Δy＝12＋Δx－1－12－1＝11＋Δx－1＝－Δx1＋Δx，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx＝－1，斜率为－1，倾斜角为3π4.3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1答案A解析∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.又y′＝limΔx→0x＋Δx2＋ax＋Δx＋1－x2－ax－1Δx＝2x＋a，∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D．(2,8)或(－1，－4)答案C解析f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－Δx＝limΔx→0x2＋x＋3xx2＋x3Δx＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．5．与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线的方程为()A．y＝2x－2B．y＝2x＋2C．y＝2x－1D．y＝2x＋1答案C解析设切点坐标为P(x0，y0)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx＝limΔx→0(2x0＋Δx)＝2x0.又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以2x0×－12＝－1，解得x0＝1，所以y0＝x20＝1，k＝2x0＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.故选C.二、填空题6．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．答案4x－y－1＝0解析因为f(x)＝x2＋3，x0＝2，所以f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4Δx＋(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋Δx.所以limΔx→0ΔyΔx＝4，即f′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)，即4x－y－1＝0.7．曲线y＝x2－x＋1在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标是________．答案－3解析k＝y′|x＝2＝limΔx→0＋Δx2－＋Δx＋1－3Δx＝limΔx→03Δx＋x2Δx＝3.当x＝2时，y＝3，即切点为(2,3)，切线方程为y－3＝3(x－2)，令x＝0，则y＝－3.∴切线与y轴交点的纵坐标为－3.8．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为________．答案－1，－12解析∵f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2＋x＋Δx＋3－x2＋2x＋Δx＝limΔx→0x＋x＋x2Δx＝limΔx→0(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－12，∴点P横坐标的取值范围为－1，－12.三、解答题9．已知曲线y＝f(x)＝1t－x上两点P(2，－1)，Q－1，12.(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；(2)求曲线在P，Q处的切线方程．解将点P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，所以y＝11－x.y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→011－x＋Δx－11－xΔx＝limΔx→0Δx[1－x＋Δx－xx＝limΔx→01－x－Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝1－2＝1；曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝14.(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即：x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－12＝14[x－(－1)]，即：x－4y＋3＝0.10．已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解∵f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0ax＋Δx2＋1－ax2＋Δx＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bxΔx＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得a＝3，b＝3.