2019-2020学年高中数学 1.3.1 二项式定理课时作业（含解析）新人教A版选修2-3

课时作业7二项式定理知识点一二项式展开式问题1.已知(1＋3)5＝a＋b3(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．44B．46C．110D．120答案D解析二项式(1＋3)5的展开式为1＋C15(3)1＋C25(3)2＋C35(3)3＋C45(3)4＋C55(3)5＝1＋53＋30＋303＋45＋93＝76＋443，所以a＝76，b＝44，a＋b＝76＋44＝120.2．若(2x－3x)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为()A．11B．12C．13D．14答案A解析因为(2x－3x)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11，选A.3．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________.答案x5－1解析注意逆用二项式定理即可．原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.知识点二求展开式的特定项4.二项式(a－2b)8的展开式的第3项为()A．－1792a3b5B．－448a5b3C．1792a2b6D．112a6b2答案D解析二项式(a－2b)8的展开式的第3项为T3＝C28a6·(－2b)2＝112a6b2，选D.5.2x－12x6的展开式的常数项是()A．20B．－20C．40D．－40答案B解析2x－12x6的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr626－2rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－1)3C36＝－20.知识点三二项式系数与项的关系6.二项式(1＋x)6的展开式中有理项系数之和为()A．64B．32C．24D．16答案B解析二项式(1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6xr2，令r2为整数，可得r＝0,2,4,6，故展开式中有理项系数之和为C06＋C26＋C46＋C66＝32，故选B.7．设x－2x6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则ab的值为________．答案4解析x－2x6的展开式的通项是Ck6x6－k－2xk＝Ck6(－2)kx6－3k2，根据题意得6－3k2＝3，k＝2，因此，x3的系数为a＝60，二项式系数为b＝C26＝15，因此，ab＝6015＝4.8．在2x2－13x8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．解(1)T5＝C48·(2x2)8－4·－13x4＝C48·24·x203，∴第5项的二项式系数是C48＝70，第5项的系数是C48×24＝1120.(2)解法一：展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C68·(2x2)8－6·－13x6＝112x2.解法二：在2x2－13x8展开式中的倒数第3项就是13x－2x28展开式中的第3项，T3＝C28·13x8－2×(2x2)2＝112x2.一、选择题1．二项式x3－2x25的展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40答案B解析二项式x3－2x25的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x3)5－r－2x2r＝(－1)r·2rCr5x15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝(－1)3×23×C35＝－80，选B.2．(x＋3x)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有()A．4项B．3项C．2项D．1项答案B解析Tk＋1＝Ck12·(x)12－k(3x)k＝Ck12·x12－k2·xk3＝Ck12·x6－k6.要使6－k6为正整数，则k＝0,6,12.3.x＋ax5(x≠0)的展开式中，x3的系数为10，则实数a等于()A．－1B.12C．1D．2答案D解析Tr＋1＝Cr5x5－r·axr＝Cr5·x5－2r·ar，令5－2r＝3，得r＝1，∴C15·a＝10，∴a＝2.4．在二项式2x＋14xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x－2项的系数为()A．2B．4C．1D．16答案C解析由题意可得2n、C1n·2n－1、C2n·2n－2成等差数列，∴2C1n·2n－1＝2n＋C2n·2n－2，解得n＝8.故展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8·28－r·x4－3r4，令4－3r4＝－2，求得r＝8，故该二项式展开式中x－2项的系数为C88·20＝1.5．已知x2－1xn的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是()A．－1B．1C．－45D．45答案D解析由题知第三项的系数为C2n(－1)2＝C2n，第五项的系数为C4n(－1)4＝C4n，则有C2nC4n＝314，解之得n＝10，由Tr＋1＝Cr10x20－2r·x－r2(－1)r，当20－2r－r2＝0时，即当r＝8时，常数项为C810(－1)8＝C210＝45，选D.二、填空题6．如果3x2＋1xn的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________.答案8解析∵Tk＋1＝Ckn(3x2)n－k1xk＝Cknx2n－5k3，由题意知k＝2时，2n－5k3＝2，∴n＝8.7．9192被100除所得的余数为________．答案81解析解法一：9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.解法二：9192＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9092·902＋C9192·90＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.8．若n∈N*，(1－2)n＝2an＋bn(an，bn∈Z)，则a5＋b5的值为________．答案12解析当n＝5时，(1－2)5＝C05＋C15(－2)＋C25(－2)2＋C35(－2)3＋C45(－2)4＋C55(－2)5＝1－52＋20－202＋20－42＝41－292，∴a5＋b5＝－29＋41＝12.三、解答题9．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．证明∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n·31n＋C1n·31n－1＋…＋Cn－1n·31＋Cnn－1＝31(C0n·31n－1＋C1n·31n－2＋…＋Cn－1n)，显然C0n·31n－1＋C1n·31n－2＋…＋Cn－1n为整数，∴原式能被31整除．10．记2x＋1xn的展开式中第m项的系数为bm.(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b4，求n.解(1)2x＋1xn的展开式中第m项为Cm－1n·(2x)n－m＋1·1xm－1＝2n＋1－m·Cm－1n·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·Cm－1n.(2)当n＝6时，2x＋1xn的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6·(2x)6－r·1xr＝26－r·Cr6·x6－2r.依题意，6－2r＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为T4＝23·C36＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·C2n＝2·2n－3·C3n，从而C2n＝C3n，即n＝5.11．已知x＋23xn的展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否存在有理项？如没有，说明理由；如有，求出有理项．解Tr＋1＝Crn(x)n－r23xr＝Crn·2rx3n－5r6(r＝0,1,2，…，n)，依题意有C0n＋2C1n＋22C2n＝129，解得n＝8(n＝－8舍去)，∴Tr＋1＝Cr8·2rx24－5r6，且0≤r≤8，r∈N*.又24－5r6＝4－56r，∴当r＝0或r＝6时，24－5r6∈Z，即展开式中存在有理项，它们是T1＝x4，T7＝C68·26·x－1＝1792x.