2019-2020学年高中数学 1.3.2.2 二项式系数性质的应用课时作业（含解析）新人教A版选修

课时作业9二项式系数性质的应用知识点一三项展开式问题1.(x2＋3x＋2)5展开式中x项的系数是________．答案240解析(x2＋3x＋2)5＝[(x2＋3x)＋2]5＝C05(x2＋3x)5＋C15(x2＋3x)4·2＋C25(x2＋3x)3·22＋C35(x2＋3x)2·23＋C45(x2＋3x)·24＋C55·25，显然在(x2＋3x)n中，n1时展开式中不含x项．∴x的系数为C45·3·24＝240.知识点二多个二项式相乘问题2.(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是________．答案3解析(x2＋2)1x2－15＝x21x2－15＋21x2－15，对于x21x2－15的通项为Tr＋1＝x2Cr51x25－r·(－1)r＝(－1)rCr5x－8＋2r.令－8＋2r＝0，即r＝4，即T5＝(－1)4C45＝5.对21x2－15的通项为T′r＋1＝2Cr51x25－r·(－1)r.令5－r＝0，即r＝5，T6′＝－2.∴(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项为5－2＝3.3．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.答案120解析f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.知识点三近似计算与整除问题4.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.5．233除以9的余数是________．答案8解析233＝(23)11＝811＝(9－1)11＝C011911×(－1)0＋C111910×(－1)1＋…＋C101191×(－1)10＋C111190×(－1)11.分析易得：其展开式中C011911×(－1)0＋C111910×(－1)1＋…＋C101191×(－1)10能被9整除，而最后一项为－1，则233除以9的余数是8.6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512015＋a能被13整除，则a＝________.答案1解析∵512015＋a＝(52－1)2015＋a＝C02015522015－C12015522014＋C22015522013－…＋C20142015521－1＋a，能被13整除，0≤a＜13.故－1＋a能被13整除，故a＝1.7．求证2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*)．证明原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋Cnn)＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋Cn－2n·52)＋25n，以上各项均为25的整数倍，故得证.知识点四二项式系数的应用8.已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求ba.解(1)根据题意得：C1m＋C1n＝7，即m＋n＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝mm－2＋nn－2＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝m－722＋354，故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3、n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4、n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5.(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003＝2.02.(3)由题意可得a＝C48＝70，再根据Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1，Cr8·2r≥Cr－18·2r－1，即r≥5，r≤6，求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴ba＝1285.9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.②与①式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝－3100－＋31002.(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋3x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100.一、选择题1.x2＋1x2－23的展开式中常数项为()A．－8B．－12C．－20D．20答案C解析x2＋1x2－23＝x－1x6的展开式的通项公式为Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，则展开式中常数项为C36(－1)3＝－20.2．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为()A．210B．120C．80D．60答案B解析在展开式中，含x4y3的项为C46x4·C34·2·y3＝120x4y3，故系数为120.3．11100－1末尾连续零的个数为()A．7B．5C．4D．3答案D解析11100－1＝(10＋1)100－1＝C010010100＋C11001099＋…＋C9910010＋C100100－1＝10100＋C11001099＋…＋C97100103＋C98100102＋1000，则末尾连续零的个数为3.故选D.4．设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12015x＋C22015x2＋C32015x3＋…＋C20152015x2015等于()A．iB．－i－1C．－1＋iD．1＋i答案B解析x＝2i1－i＝－1＋i，C12015x＋C22015x2＋C32015x3＋…＋C20152015x2015＝(1＋x)2015－1＝i2015－1＝i3－1＝－i－1.故选B.5．(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a201422014的值为()A．2B．0C．－1D．－2答案C解析令x＝0，得a0＝1，令x＝12得a0＋a12＋a222＋…＋a201422014＝0，所以a12＋a222＋…＋a201422014＝－1.二、填空题6．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn等于________．答案63解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝26－C0n＝64－1＝63.7．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.答案1解析令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.8.设a≠0，n是大于1的自然数，1＋xan的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.答案9解析由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由1＋xan的展开式的通项公式知Tr＋1＝Crnxar(r＝0,1,2，…，n)．∴C1n·1a＝a1＝3，C2n·1a2＝a2＝4，故na＝3，nn－a2＝8，可得n＝9，a＝3.三、解答题9．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋5x)n(m，n∈N*)(1)若m＝4，n＝5时，求f(x)·g(x)的展开式中含x2的项；(2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，那么当m，n为何值时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值？(3)若(1＋5x)n(n≤10，n∈N*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x)n的展开式中系数最大的项．解(1)当m＝4，n＝5时，f(x)＝(1＋x)4＝C04x0＋C14x1＋C24x2＋C34x3＋C44x4，g(x)＝(1＋5x)5＝C05(5x)0＋C15(5x)1＋…＋C55(5x)5，则f(x)·g(x)的展开式中含x2的项为(C24·50C05＋C14·5C15＋C04·52C25)x2，即f(x)·g(x)的展开式中含x2的项为356x2.(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，则C1m＋5C1n＝24，即m＝24－5n(其中1≤n≤4，n∈N*)，又h(x)的展开式中含x2的项的系数为C2m＋52C2n＝mm－2＋25nn－2＝－5n－5n2＋25nn－2＝25n2－130n＋276＝25n－1352＋107(其中1≤n≤4，n∈N*)，又因为2－135＞3－135，所以当n＝3时(此时m＝9)，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值为111.(3)在(1＋5x)n(n≤10，n∈N*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为Cn－1n·5n－1，Cn－2n·5n－2，Cn－3n·5n－3，又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以2Cn－2n·5n－2＝Cn－1n·5n－1＋Cn－3n·5n－3，整理得：n2－33n＋182＝0，解之得：n＝7或n＝26，又因为n≤10，n∈N*，所以n＝7或n＝26(不合题意舍去)设二项式(1＋5x)7的展开式中系数最大的项为第r＋1项(即Tr＋1＝Cr7(5x)r)，则Cr－17·5r－1≤Cr7·5r，Cr＋17·5r＋1≤Cr7·5r，整理并解之得：173≤r≤203，又因为n≤10，n∈N*，所以r＝6.10．已知fn(x)＝(1＋x)n.(1)若f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011，求a1＋a3＋…＋a2009＋a2011的值；(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，所以f2011(x)＝(1＋x)2011，又f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011，所以f2011(1)＝a0＋a1＋…＋a2011＝22011，①f2011(－1)＝a0－a1＋…＋a2010－a2011＝0，②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2009＋a2011)＝22011，所以a1＋a3＋…＋a2009＋a2011＝22010.(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(