2019-2020学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程（1）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业10椭圆及其标准方程(1)知识点一椭圆的定义及简单应用1.已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；③当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；④当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是()A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4|AB|，故点P的轨迹不存在，①正确；当a＝4时，2a＝8|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，④错误．2．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A．2B．3C．5D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.若|PF1|＝3，则|PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16B．18C．20D．不确定答案B解析∵a＝5，b＝3，∴c＝4又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B.知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)a＝5，c＝2；(2)经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点；(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)．解(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为x225＋y221＝1或y225＋x221＝1.(2)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由已知，得6a2＋1b2＝1，3a2＋2b2＝1⇒a2＝9，b2＝3，即所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1(ab0)，由已知，得6b2＋1a2＝1，3b2＋2a2＝1⇒b2＝9，a2＝3，与ab0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.解法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)，故6A＋B＝1，3A＋2B＝1⇒A＝19，B＝13，即所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.(3)解法一：方程9x2＋5y2＝45可化为x25＋y29＝1，则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵点M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝－2＋6－2＋－2＋6＋2＝(23－2)＋(23＋2)＝43，∴a＝23，即a2＝12，∴b2＝a2－c2＝12－4＝8，∴椭圆的标准方程为y212＋x28＝1.解法二：由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为y2λ＋4＋x2λ＝1(λ0)，将x＝2，y＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所求椭圆的标准方程为y212＋x28＝1.一、选择题1．椭圆3x2＋y2＝1的焦点坐标为()A．(3，0)和(－3，0)B．(0，3)和(0，－3)C.63，0和－63，0D.0，63和0，－63答案D解析3x2＋y2＝1可化为x213＋y2＝1，所以该椭圆的焦点在y轴上，且a2＝1，b2＝13，所以c2＝a2－b2＝23，c＝63，焦点坐标为0，63和0，－63.2．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝216－12＝4，∴△PF1F2为直角三角形．3．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，则圆心P的轨迹是()A．线段B．直线C．圆D．椭圆答案D解析设圆P的半径为r，因为圆P过点B，则|PB|＝r.又圆P过点B且与圆A内切，B在圆A内，所以圆P在圆A内．又圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，故|PA|＋|PB|＝10|AB|＝6，所以圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．故选D.4．关于椭圆x225＋y29＝1与y225－k＋x29－k＝1(0k9)，下列说法正确的是()A．它们有相等的焦距，相同的焦点B．它们有相等的焦距，不同的焦点C．它们有不相等的焦距，不同的焦点D．以上都不对答案B解析对于椭圆x225＋y29＝1，其焦点在x轴上，且c＝4.对于椭圆y225－k＋x29－k＝1，因为0k9，所以09－k9,1625－k25.所以25－k9－k，且25－k－(9－k)＝16.由此可知，椭圆y225－k＋x29－k＝1的焦点在y轴上，且c＝4.所以椭圆x225＋y29＝1与y225－k＋x29－k＝1(0k9)有相等的焦距，不同的焦点．5．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案C解析由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2a2－1＝1(a1)，又椭圆C由过F2且垂直于x轴的直线截得的弦长|AB|＝3，知点1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝14(舍去)．故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.二、填空题6．已知a＋c＝3，a－c＝1，椭圆焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________．答案y24＋x23＝1解析因为a＋c＝3，a－c＝1，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，又椭圆焦点在y轴上，所以此椭圆的标准方程为y24＋x23＝1.7．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案8解析由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，∴在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝8.8．已知点M(－2,0)，N(2,0)．(1)若|PM|＋|PN|＝6，则点P的轨迹方程为______；(2)若|PM|＋|PN|＝4，则点P的轨迹方程为______．答案(1)x29＋y25＝1(2)y＝0(－2≤x≤2)解析(1)由|PM|＋|PN|＝6＞|MN|＝4，可知点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆．因为a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，即轨迹方程为x29＋y25＝1.(2)由|PM|＋|PN|＝4＝|MN|，可知点P的轨迹是线段MN，即轨迹方程为y＝0(－2≤x≤2)．三、解答题9．如图所示，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，若△POF2为面积是3的正三角形，试求椭圆的标准方程．解由△POF2为面积是3的正三角形得，|PO|＝|PF2|＝|OF2|＝2，∴c＝2.连接PF1，在△POF1中，|PO|＝|OF1|＝2，∠POF1＝120°，∴|PF1|＝23.∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋23，∴a＝1＋3，∴b2＝a2－c2＝4＋23－4＝23.∴所求椭圆的标准方程为x24＋23＋y223＝1.10．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．解由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，又|CQ|＝4，∴|CM|＋|MA|＝4.又|AC|＝2，∴M点轨迹为椭圆．由椭圆的定义知：a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求轨迹方程为：x24＋y23＝1.