2019-2020学年高中数学 2.2.1 综合法和分析法课时作业（含解析）新人教A版选修1-2

课时作业6综合法和分析法知识点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明a＋a＋7a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案C解析要证a＋a＋7a＋3＋a＋4，只需证2a＋7＋2aa＋2a＋7＋2a＋a＋，只需证aa＋a＋a＋，只需证a(a＋7)(a＋3)(a＋4)，只需证012，此式显然成立．故选用分析法最合理.知识点二综合法的应用3.已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明证法一：∵a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab.∴ab≤12.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.证法二：∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0.∴(a＋b)(1a＋1b)≥4.又因为a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.证法三：∵a，b∈R＋，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号.知识点三分析法的应用4.3a－3b3a－b成立的充要条件是()A．ab(b－a)0B．ab0且abC．ab0且abD．ab(b－a)0答案D解析3a－3b3a－b⇔(3a－3b)3(3a－b)3⇔a－b－33a2b＋33ab2a－b⇔3ab23a2b⇔ab2a2b⇔ab(b－a)0.5．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinCcosA＋cosB＋cosC.证明在锐角三角形ABC中，∵A＋Bπ2，∴Aπ2－B.∴0π2－BAπ2，又∵在0，π2内正弦函数y＝sinx是单调递增函数，∴sinAsinπ2－B＝cosB，即sinAcosB.①同理sinBcosC，②sinCcosA.③由①＋②＋③，得：sinA＋sinB＋sinCcosA＋cosB＋cosC.易错点表述不规范致错6.设a≥3，求证：a－a－1a－2－a－3.易错分析分析法的一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”“即证”等不能漏掉，这是用分析法证明问题时易忽略的地方．证明要证a－a－1a－2－a－3，只需证a＋a－3a－1＋a－2，即证(a＋a－3)2(a－1＋a－2)2，即证aa－a－a－，即证a(a－3)(a－1)(a－2)，即证02，∵02显然成立，∴原不等式成立．一、选择题1．平面内有四边形ABCD和点O，OA→＋OC→＝OB→＋OD→，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形答案D解析∵OA→＋OC→＝OB→＋OD→，∴OA→－OB→＝OD→－OC→，∴BA→＝CD→，∴四边形ABCD为平行四边形．2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0答案D解析因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.3．在△ABC中，AB是cos2Bcos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件答案C解析∵AB⇔ab⇔sinAsinB(由正弦定理得)，又cos2Bcos2A⇔1－2sin2B1－2sin2A⇔sin2Bsin2A⇔sinBsinA.∴AB⇔cos2Bcos2A.故选C.4．若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案B解析∵x0，y0，1x＋4y＝1，∴x＋y4＝x＋y4·1x＋4y＝2＋y4x＋4xy≥2＋2y4x·4xy＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋y4的最小值为4，要使不等式m2－3mx＋y4有解，应有m2－3m4，∴m－1或m4，故选B.二、填空题5．设n∈N，a＝n＋4－n＋3，b＝n＋2－n＋1，则a，b的大小关系是________．答案ab解析要比较n＋4－n＋3与n＋2－n＋1的大小，即判断(n＋4－n＋3)－(n＋2－n＋1)＝(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2)的符号，∵(n＋4＋n＋1)2－(n＋3＋n＋2)2＝2[n＋n＋－n＋n＋]＝2(n2＋5n＋4－n2＋5n＋6)0，∴n＋4－n＋3n＋2－n＋1.6．已知p＝a＋1a－2(a2)，q＝2－a2＋4a－2(a2)，则p与q的大小关系是________．答案pq解析p＝a－2＋1a－2＋2≥2a－1a－2＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)22，∴q22＝4≤p.7．如果aa＋bbab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析aa＋bbab＋ba⇔aa－abba－bb⇔a(a－b)b(a－b)⇔(a－b)(a－b)0⇔(a＋b)(a－b)20，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．三、解答题8．设xy，y0，证明：不等式(x2＋y2)12(x3＋y3)13.证明证法一：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2＋y2)3(x3＋y3)2，即证x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)x6＋y6＋2x3y3，即证3x2y2·(x2＋y2)2x3y3，因为x0，y0，所以只需证x2＋y223xy.又因为x0，y0，所以x2＋y2≥2xy23xy.所以(x2＋y2)12(x3＋y3)13.证法二：(综合法)因为x0，y0，所以(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2·(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，所以(x2＋y2)12(x3＋y3)13.9．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3a2b＋ab2.证明证法一：要证a3＋b3a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)成立．又因为a＋b0，所以只需证a2－ab＋b2ab成立．即需证a2－2ab＋b20成立，即需证(a－b)20成立．而依题设a≠b，则(a－b)20显然成立．由此命题得证．证法二：a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)20⇔a2－2ab＋b20⇔a2－ab＋b2ab.因为a0，b0，所以a＋b0，(a＋b)(a2－ab＋b2)ab(a＋b)．所以a3＋b3a2b＋ab2.