2019-2020学年高中数学 2.2.2 反证法课时作业（含解析）新人教A版选修2-2

课时作业19反证法知识点一反证法的概念1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案C解析原结论不能作为条件使用．2．有下列叙述：①“ab”的反面是“ab”；②“x＝y”的反面是“xy或xy”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.知识点二反证法的步骤3.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除答案B解析“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的排列为________．答案③①②解析反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②.知识点三用反证法证明命题5.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．一、选择题1．用反证法证明结论为“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的命题时，应假设()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案D解析假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D.2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案D解析用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q＞2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2答案C解析假设都大于－2，则a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＞－6，但a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．4．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR＞0成立．其次，若PQR＞0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P＜0，Q＜0，即a＋b－c＜0，b＋c－a＜0，所以b＜0，与b＞0矛盾．故P，Q，R都大于0.5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案D解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.二、填空题6．命题“a，b是实数，若|a＋1|＋(b＋1)2＝0，则a＝b＝－1”，用反证法证明该命题时应假设________．答案a≠－1或b≠－1解析a＝b＝－1表示a＝－1且b＝－1，故其否定是a≠－1或b≠－1.7．下列命题适合用反证法证明的是________．①已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：1＋xy和1＋yx中至少有一个小于2；③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．答案①②③④解析①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.8．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在“好点”，那么a的取值范围是________．答案－12，32解析假设函数f(x)存在“好点”，即存在实数x，使得x2＋2ax＋1＝x，所以x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数根．所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－12，或a≥32.所以f(x)不存在“好点”时，a的取值范围是－12，32.三、解答题9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)＝0无整数根．证明假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数，或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．所以f(x)＝0无整数根．10．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．