2019-2020学年高中数学 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用课时作业（含解析）新人教A版选

课时作业19回归分析的基本思想及其初步应用知识点一线性回归方程1.为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中x－，y－分别相同，则下列说法正确的是()A．l1与l2一定平行B．l1与l2重合C．l1与l2相交于点(x－，y－)D．无法判断l1和l2是否相交答案C解析回归直线一定过样本点的中心(x－，y－)，故C正确．2．若某地财政收入x与支出y满足回归方程y^＝b^x＋a^＋ei，(单位：亿元)(i＝1,2，…)，其中b^＝0.8，a^＝2，|ei|＜0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()A．10亿元B．9亿元C．10.5亿元D．9.5亿元答案C解析y^＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，∵|ei|＜0.5，∴9.5＜y^＜10.5.3．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算得i＝18xi＝52，i＝18yi＝228，i＝18x2i＝478，i＝18xiyi＝1849，则y与x之间的回归方程为________．答案y^＝11.47＋2.62x解析利用公式b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－bx－代入数据即可求得．知识点二回归分析的基本思想4.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．5．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是()答案B解析选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.一、选择题1．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用模型比较合适，带状区域宽度越窄，拟合精度较高，残差平方和越小，R2值越接近1说明拟合效果越好，故①③正确，故选C.2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg答案D解析回归方程中x的系数为0.850，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x－，y－)，B正确；依据回归方程中y^的含义可知，x每变化1个单位，y^相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误．3．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：度)之间有下列数据：x－2－1012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①y^＝－x＋2.8，②y^＝－x＋3，③y^＝－1.2x＋2.6；其中正确的是()A．①B．②C．③D．①③答案A解析回归方程y^＝b^x＋a^表示的直线必过点(x－，y－)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①，故选A.4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x间的回归方程为()A.y^＝x＋1B.y^＝x＋2C.y^＝2x＋1D.y^＝x－1答案A解析易知变量y与x具有线性相关关系，且b^＝1，x－＝2.5，y－＝3.5，所以a^＝3.5－1×2.5＝1，故可得出线性回归方程为y^＝x＋1.故选A.5．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.b^＞b′，a^＞a′B.b^＞b′，a^＜a′C.b^＜b′，a^＞a′D.b^＜b′，a^＜a′答案C解析过(1,0)和(2,2)的直线方程为y′＝2x－2，画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，显然，b′＞b^，a^＞a′.故选C.二、填空题6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．答案1解析因为所有的样本点都落在一条直线上，所以相关系数|r|＝1，又由回归方程为y＝12x＋1，说明x与y正相关，即r＞0，所以r＝1.7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x－＝72，y－＝71，∑6i＝1x2i＝79，∑6i＝1xiyi＝1481.则销量每增加1000箱，单位成本约下降________元．答案1.8182解析由题意知，b^＝1481－6×72×7179－6×722≈－1.8182，a^＝71－(－1.8182)×72≈77.36，所以y^＝－1.8182x＋77.36，所以销量每增加1000箱，单位成本约下降1.8182元．8．某种商品的广告费支出x与销售额y之间有如下关系：(单位：万元)x24568y3040605070y与x的线性回归方程为y^＝6.5x＋17.5，当广告费支出5万元时，残差为________．答案10解析当广告费x＝5时，y^＝6.5×5＋17.5＝50，残差为60－50＝10.三、解答题9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝－20，a^＝y－－b^x－；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解(1)由于x－＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5.y－＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a^＝y－－b^x－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y^＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20x－3342＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝110xi＝80，i＝110yi＝20，i＝110xiyi＝184，i＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－，其中x－，y－为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.解(1)由题意知n＝10，x－＝1ni＝1nxi＝8010＝8，y－＝1ni＝1nyi＝2010＝2，又i＝1nx2i－nx－2＝720－10×82＝80，i＝1nxiyi－nx－y－＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2＝2480＝0.3，a^＝y－－b^x－＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y^＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b^＝0.30)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．