2019-2020学年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数（2）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业27函数的单调性与导数(2)知识点一已知函数单调性求参数的值1.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝__________，c＝__________.答案－32－6解析f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1x2是不等式f′(x)0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，因此b＝－32，c＝－6.知识点二已知函数单调性求参数的取值范围2.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)答案B解析由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f′(x)＝0，则有Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.3．已知f(x)＝2ax－1x2，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，则a的取值范围为________．答案[－1，＋∞)解析由已知得f′(x)＝2a＋2x3.∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立．而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.知识点三比较大小4.已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(e)f(3)f(2)B．f(3)f(e)f(2)C．f(e)f(2)f(3)D．f(2)f(e)f(3)答案D解析f′(x)＝12x＋1x，∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又2e3，∴f(2)f(e)f(3)，故选D.5．已知函数f(x)＝12x2＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋ax，当a0时，f′(x)0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a0时，由f′(x)＝x＋ax0，得x－a；由f′(x)＝x＋ax0，得0x－a，所以当a0时，函数f(x)的单调递增区间是(－a，＋∞)，单调递减区间是(0，－a).易错点对函数单调性的充要条件理解不透6.已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．易错分析设函数y＝f(x)在某个区间内可导，则当f′(x)0时，f(x)为增函数，其解集为函数f(x)的单调递增区间；当f′(x)0时，f(x)为减函数，其解集为函数f(x)的单调递减区间．反之，如果f(x)在某区间上单调递增(单调递减)，则f′(x)0(f′(x)0)不一定恒成立，即f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在对应区间上单调递增(单调递减)的充分不必要条件．已知函数f(x)(含参数)的单调性确定参数的取值范围时，要注意不可忽略f′(x)＝0的情况．解(1)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a0时，令3x2－a＝0得x＝±3a3；当x3a3或x－3a3时，f′(x)0；当－3a3x3a3时，f′(x)0.因此f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．一、选择题1．若函数f(x)＝xex，当x1x2－1时，则()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)·f(x2)0答案A解析∵f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x－1时，有x＋10.∴f′(x)＝ex(x＋1)0.∴f(x)在(－∞，－1)上为递减函数．∵x1x2－1，∴f(x2)f(x1)0.2．下图中有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝()A.13B．－13C.73D．－13或53答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由图①与②知，它们的对称轴都为y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③是f(x)的导函数的图象．由图③知f′(0)＝0，a0，所以a＝－1，此时f(x)＝13x3－x2＋1，所以f(－1)＝－13.3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)为增函数，则()A．b2－4ac0B．b0，c0C．b＝0，c0D．b2－3ac≤0答案D解析∵f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.∴Δ＝4b2－12ac≤0.∴b2－3ac≤0.4．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈－π2，π2时，f(x)＝x＋sinx，则()A．f(1)f(2)f(3)B．f(2)f(3)f(1)C．f(3)f(2)f(1)D．f(3)f(1)f(2)答案D解析∵f′(x)＝1＋cosx≥0，∴f(x)在区间－π2，π2内单调递增．∵f(x)＝f(π－x)，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)．∵π－31π－2，∴f(π－3)f(1)f(π－2)，即D正确．二、填空题5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为________．答案(－1，＋∞)解析设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.∵对任意x∈R，f′(x)2，∴g′(x)0.∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x－1时，g(x)0.∴由f(x)2x＋4，得x－1.6．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．答案13，＋∞解析f′(x)＝3ax2－2x＋1.由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴a0，－2－4×3a×1≤0，解得a≥13.7．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．答案1，32解析显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x.由f′(x)0，得函数f(x)的单调递增区间为12，＋∞；由f′(x)0，得函数f(x)的单调递减区间为0，12，由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－112k＋1，k－1≥0，解得1≤k32.三、解答题8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3＝(3x－1)·(x＋3)，令f′(x)0，可得x－3或x13；令f′(x)0，可得－3x13.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，13，＋∞.单调减区间为－3，13.9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．解(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2.因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－20有解，即a1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－2x，所以只要aG(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1，所以a－1.(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．所以a≥G(x)max.而G(x)＝1x－12－1.因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1.所以G(x)max＝－716(此时x＝4)．所以a≥－716.