2019-2020学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课时作业（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业30生活中的优化问题举例知识点一面积、容积最大最小问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A．2B．4C．6D．8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面积之和为S(x)＝x42＋16－x42,0x16，则S′(x)＝2×x4×14＋2×16－x4×－14＝14(x－8)．令S′(x)＝0，得x＝8.当0x8时，S′(x)0；当8x16时，S′(x)0.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.l63πB.l33πC.l43πD.14l43π答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2，V＝πr2h＝l2πr2－2πr30rl4.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r0，∴r＝l6是其唯一的极值点．当r＝l6时，V取得最大值，最大值为l63π.知识点二材料最省问题3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米答案A解析设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.则所用材料l＝2y＋x＝2y＋512y(y0)，求导数，得l′＝2－512y2.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0y16时，l′0；当y16时，l′0.所以y＝16是函数l＝2y＋512y(y0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．故选A.知识点三利润最大问题4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台答案A解析设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．5．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8,11]．(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，令L′(x)＝0得x＝12或x＝263，由于x∈[8,11]，所以取x＝263，当x∈8，263时，L′(x)0；x∈263，11时，L′(x)0，所以当x＝263时，L(x)在[8,11]上取得极大值，也是最大值，L263＝50027(万元)．故当每件售价为263元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是50027万元.易错点导数在实际问题中的应用6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；(2)求S的最大值．易错分析在实际应用问题中需注意变量自身的范围，否则会导致函数没有意义．解(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则点C的横坐标x，纵坐标y满足方程x2r2＋y24r2＝1(y≥0)，解得y＝2r2－x2(0xr)，故S＝12(2x＋2r)×2r2－x2＝2(r＋x)r2－x2，其定义域为{x|0xr}．(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0xr，则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．令f′(x)＝0，得x＝12r.从而，当0xr2时，f′(x)0；当r2xr时，f′(x)0，所以fr2是f(x)的最大值．因此，当x＝r2时，S取得最大值，最大值为fr2＝332r2，即梯形面积S的最大值为332r2.一、选择题1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为()A．5分米B．6分米C．7分米D．8分米答案D解析设底面边长为x分米，则高为h＝256x2，其表面积S＝x2＋4·256x2·x＝x2＋256×4x(x0)，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8.当0x8时S′0，当x8时S′0，故x＝8时S最小．2．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，这个数据说明在100天时()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加C．公司盈利在逐渐减少D．公司有时盈利有时亏损答案C解析因为f′(100)＝－1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x400，则总利润最大时，每年生产的产品数是()A．100B．150C．200D．300答案D解析由题意得，总成本函数为C(x)＝20000＋100x，∴总利润P(x)＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400，又P′(x)＝300－x，0≤x≤400，－100，x400，令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．4．三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为()A．4B．8C.43D.83答案C解析V＝13×2x22·y＝x2y3＝x2－x3＝3x2－x33(0x3)，V′＝6x－3x23＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2时，V最大为43.二、填空题5．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．答案439解析设B(x，y)，则S(x)＝2·x·y＝2x·(1－x2)＝2x－2x3(0x1)，S′(x)＝2－6x2(0x1)，令S′(x)＝0，解得x＝33，x∈0，33时，S′(x)0，S(x)递增，x∈33，1时，S′(x)0，S(x)递减，∴当x＝33时，S(x)max＝439.6．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为________．答案300m3解析设仓库的容积为Vm3，长为xm，则宽为(20－x)m，V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x(0x20)，V′＝－6x＋60，令V′＝0，得x＝10.当0x10时，V′0；当x10时，V′0.∴当x＝10时，V取最大值，V最大＝300.7．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．答案1015000解析设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x2，故有y＝150x×30＋x2×40，y′＝－4500x2＋20＝x＋x－x2.∴当0x15时，y′0，当15x150时，y′0.故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．三、解答题8．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3240－x2＋2x＋53，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3240×－x2＋2x＋53＝3240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝59或x＝3(舍去)，当x∈0，59时，f′(x)0，f(x)是增函数；当x∈59，1时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以当x＝59时，f(x)取极大值，f59＝20000，因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．9．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2．5(时)，1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)．答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当汽车的速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了100x时，设耗油量为h(x)升．依题意，得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0x≤120)令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)0，h(x)是增函数．故当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升．