2019-2020学年高中数学 本册综合测试 新人教B版必修4

本册综合测试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin780°的值为()A．－32B．32C．－12D．12解析：选Bsin780°＝sin(720°＋60°)＝sin60°＝32，故选B．2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝sin|x|B．y＝cos(－x)C．y＝－sinπ2－xD．y＝|tanx|解析：选Cy＝－sinπ2－x＝－cosx是偶函数，在(0，π)上是增函数，故选C．3．下列命题正确的个数是()①AB→＋BA→＝0；②0·AB→＝0；③AB→－AC→＝BC→；④0·AB→＝0；⑤a·b＝b·c，则a＝c；⑥a∥b且b∥c，则a∥c.A．1B．2C．3D．4解析：选A①正确．4．已知△ABC是锐角三角形，P＝sinA＋sinB，Q＝cosA＋cosB，则()A．PQB．PQC．P＝QD．P与Q的大小不能确定解析：选B∵△ABC是锐角三角形，∴A＋Bπ2，π2Aπ2－B0，∴sinAsinπ2－B＝cosB，cosAcosπ2－B＝sinB，∴PQ，故选B．5．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1B．2C．2D．4解析：选C2a－b＝2(1，n)－(－1，n)＝(3，n)．∵(2a－b)⊥b，∴(2a－b)·b＝(－1)×3＋n2＝0，∴n2＝3.∴|a|＝12＋n2＝1＋3＝2.故选C．6．设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A．AD→＝－13AB→＋43AC→B．AD→＝13AB→－43AC→C．AD→＝43AB→＋13AC→D．AD→＝43AB→－13AC→解析：选A由BC→＝3CD→得AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，∴3AD→＝4AC→－AB→，∴AD→＝43AC→－13AB→，故选A．7．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A．kπ－14，kπ＋34(k∈Z)B．2kπ－14，2kπ＋34(k∈Z)C．k－14，k＋34(k∈Z)D．2k－14，2k＋34(k∈Z)解析：选D由图可知，T＝54－14×2＝2，∴ω＝2πT＝π.将14，0代入f(x)＝cosπ4＋φ＝0，∴可令π4＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝cosπx＋π4，2kπ≤πx＋π4≤2kπ＋π，k∈Z.得2k－14≤x≤2k＋34，∴f(x)的递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z，故选D．8．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B根据题意有f(x)＝cos2x＋1－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)max＝32＋52＝4，故选B．9．已知|p|＝22，|q|＝3，p，q的夹角为π4，如右图，若AB→＝5p＋2q，AC→＝p－3q，D为BC的中点，则|AD→|为()A．152B．152C．7D．18解析：选A∵AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(5p＋2q＋p－3q)＝12(6p－q)，∴|AD→|＝|AD→|2＝126p－q2＝1236p2－12p·q＋q2＝1236×222－12×22×3×cosπ4＋32＝152.10．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A．22B．12C．0D．－1解析：选C由a⊥b得，－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝0，故选C．11．已知cos5π12＋α＝13，且－πα－π2，则cosπ12－α等于()A．223B．13C．－13D．－223解析：选D∵－πα－π2，∴－7π125π12＋α－π12，∴sin5π12＋α＝－1－19＝－223，∴cosπ12－α＝cosπ2－5π12＋α＝sin5π12＋α＝－223，故选D．12．(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．3－1B．3＋1C．2D．2－3解析：选A设a＝(x，y)，e＝(1,0)，b＝(m，n)，则由〈a，e〉＝π3，得a·e＝|a|·|e|cosπ3，即x＝12x2＋y2，∴y＝±3x，由b2－4e·b＋3＝0得m2＋n2－4m＋3＝0，即(m－2)2＋n2＝1.因此|a－b|的最小值为圆心(2,0)到直线y＝±3x的距离减去半径1，为3－1.故选A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．解析：cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos120°＝－12.答案：－1214．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝__________.解析：由题意得a·b＝12，则(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－a·b－6|b|2＝－72.答案：－7215．已知O是四边形ABCD所在平面内任一点，且|AO→＋OB→|＝|DO→＋OC→|，AB→∥CD→，则四边形ABCD的形状是__________．解析：由条件可知|AB→|＝|DC→|，又AB→∥CD→，∴AB═∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形16．函数y＝3sin(x＋10°)＋5sin(x＋70°)的最大值为________．解析：y＝3sin(x＋10°)＋5sin(x＋70°)＝3sin(x＋40°－30°)＋5sin(x＋40°＋30°)＝32[3sin(x＋40°)－cos(x＋40°)]＋52[3sin(x＋40°)＋cos(x＋40°)]＝43sin(x＋40°)＋cos(x＋40°)＝7437sinx＋40°＋17cosx＋40°＝7sin(x＋40°＋φ)≤7.答案：7三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)由a⊥b，得2x＋3－x2＝0，x＝－1或x＝3.(2)由a∥b，得－x＝x(2x＋3)，∴x＝0时x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝25.∴|a－b|＝2或|a－b|＝25.18．(12分)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.19．(12分)设函数f(x)＝sinxcosx－3cos(x＋π)cosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝f(x)的图象按b＝π4，32平移后得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在0，π4上的最大值．解：(1)f(x)＝12sin2x＋3cos2x＝12sin2x＋32(1＋cos2x)＝12sin2x＋32cos2x＋32＝sin2x＋π3＋32.故f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)依题意g(x)＝fx－π4＋32＝sin2x－π4＋π3＋32＋32＝sin2x－π6＋3.当x∈0，π4时，2x－π6∈－π6，π3，g(x)为增函数，所以g(x)在0，π4上的最大值为gπ4＝332.20．(12分)已知cosπ4－θ＝210，且θ∈(0，π)．(1)求sinπ4＋θ的值；(2)求sin4θ－cos4θ的值．解：(1)sinπ4＋θ＝cosπ2－π4－θ＝cosπ4－θ＝210.(2)∵cosπ4－θ＝22cosθ＋22sinθ＝210，∴cosθ＋sinθ＝15，∴2sinθcosθ＝－24250，∵θ∈(0，π)，∴sinθ0，cosθ0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝75.sin4θ－cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)(sin2θ－cos2θ)＝(sinθ－cosθ)(sinθ＋cosθ)＝15×75＝725.21．(12分)(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解：(1)因为f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin2x－π6＋12.因为x∈－π3，m，所以2x－π6∈－5π6，2m－π6.要使得f(x)在－π3，m上的最大值为32，即sin2x－π6在－π3，m上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.22．(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋π6＋cos2x－π6＋2sinxcosx＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m在区间0，π3上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解：依题意得，f(x)＝32cos2x－12sin2x＋32cos2x＋12sin2x＋sin2x＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递减增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π3，∴π3≤2x＋π3≤π，∴0≤sin2x＋π3≤1，∴1≤f(x)≤3.由函数g(x)＝f(x)－m在区间0，π3上有两个不同的零点，可知f(x)＝m在区间0，π3内有两个相异的实根，即y＝f(x)图象与y＝m的图象有两个不同的交点结合图象可知，当3＋1≤m3时，两图象有两个不同的交点．∴实数m的取值范围是[3＋1,3)．