2019-2020学年高中数学 穿越自测（含解析）新人教A版选修1-1

穿越自测一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ·文5，本题考查了双曲线的标准方程和性质，考查了数形结合思想以及运算求解能力]已知F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D解析因为F是双曲线C：x2－y23＝1的右焦点，所以F(2，0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－y2P3＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝12×|PF|×1＝12×3×1＝32.故选D.2．[2017·全国卷Ⅰ·文12，本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，夹角公式，考查了运算求解能力]设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)答案A解析解法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝3＋x|y|＋3－x|y|1－3＋x|y|·3－x|y|＝23|y|x2＋y2－3.又tan∠AMB＝tan120°＝－3，且由x23＋y2m＝1可得x2＝3－3y2m，则23|y|3－3y2m＋y2－3＝23|y|1－3my2＝－3.解得|y|＝2m3－m.又0|y|≤m，即02m3－m≤m，结合0m3解得0m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.解法二：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0m≤1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.3．[2017·全国卷Ⅱ·文5，本题考查了双曲线的离心率，考查了分析推理能力]若a＞1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1,2)答案C解析由题意得双曲线的离心率e＝a2＋1a.∴e2＝a2＋1a2＝1＋1a2.∵a1，∴01a21，∴11＋1a22，∴1e2.故选C.4．[2017·全国卷Ⅱ·文12，本题考查了抛物线的标准方程，几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查了分析问题解决问题的能力，运算求解能力]过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.5B．22C．23D．33答案C解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组y＝3x－，y2＝4x，解得x＝13，y＝－233或x＝3，y＝23.∵点M在x轴的上方，∴M(3,23)．∵MN⊥l，∴N(－1,23)．∴|NF|＝1＋2＋－232＝4，|MF|＝|MN|＝＋2＋3－232＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形．∴点M到直线NF的距离为23.故选C.5．[2017·全国卷Ⅲ·文11，本题考查了椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b，∴ba＝13，∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63.故选A.6．[2017·全国卷Ⅲ·文12，本题考查了函数的零点，函数的性质，考查了函数与方程的思想，运算求解能力]已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1答案C解析解法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a()et＋e－t－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝12.故选C.解法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.7．[2017·北京卷·文7，本题以向量知识为背景考查了充要条件，考查了推理论证能力，分类讨论思想]设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|＜0.当90°＜θ＜180°时，m·n＜0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A.解法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ＜0，n≠0时，m·n＜0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＜0⇔cos〈m，n〉＜0⇔〈m，n〉∈π2，π，当〈m，n〉∈π2，π时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A.8．[2017·天津卷·文2，本题以不等式为背景考查了充要条件，考查了分析推理能力]设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.9．[2017·天津卷·文5，本题考查了双曲线的标准方程和双曲线的几何性质，考查了运算求解能力]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1答案D解析根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线y＝bax上.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝bax上，∴ba＝tan60°＝3.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x2－y23＝1.故选D.10．[2017·山东卷·文5，本题考查了不等式的性质，复合命题的真假性判断，考查了学生推理论证能力]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(綈q)C．(綈p)∧qD．(綈p)∧(綈q)答案B解析∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×10，∴x2－x＋10恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2(－2)2，但－1－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.11．[2017·山东卷·文10，本题考查了对新定义的理解和应用，函数的单调性，考查了学生分析问题，解决问题的能力]若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是()A．f(x)＝2－xB．f(x)＝x2C．f(x)＝3－xD．f(x)＝cosx答案A解析若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)0在f(x)的定义域上恒成立．对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln2＝2－x(1－ln2)0，符合题意．经验证，选项B，C，D均不符合题意．故选A.12．[2017·浙江卷·文2，本题考查了椭圆的离心率的求法]椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53C.23D.59答案B解析∵椭圆方程为x29＋y24＝1，∴a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5.∴e＝ca＝53.故选B.13．[2017·浙江卷·文7，本题考查了原函数与导函数的关系，可用排除法，考查了数形结合思想]函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()ABCD答案D解析观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确．故选D.二、填空题14．[2017·全国卷Ⅰ·文14，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法]曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．答案x－y＋1＝0解析∵y′＝2x－1x2，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.15．[2017·北京卷·文10，本题考查了双曲线的标准方程和几何性质]若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.答案2解析由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝1＋m，故双曲线的离心率e＝ca＝1＋m＝3，∴1＋m＝3，∴m＝2.16．[2017·天津卷·文10，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求解]已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．答案1解析∵f′(x)＝a－1x，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.17．[2017·天津卷·文12，本题考查了抛物线的几何性质，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力]设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．答案(x＋1)2＋(y－3)2＝1解析由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.18．[2017·山东卷·文15，本题考查了双曲线与抛物线相交问题，以及两种曲线的几