2019-2020学年高中数学 穿越自测（含解析）新人教A版选修2-2

穿越自测一、选择题1．[2017·全国卷Ⅰ·理3，本题考查了复数的概念和运算，命题的真假性判断]设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.2．[2017·全国卷Ⅱ·理1，本题考查了复数的计算，考查了运算求解能力]3＋i1＋i＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案D解析3＋i1＋i＝＋－＋－＝3－3i＋i＋12＝2－i.故选D.3．[2017·全国卷Ⅱ·理7，本题考查了分析推理能力]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.4．[2017·全国卷Ⅱ·理11，本题考查了利用导数求函数的极值，考查了运算求解能力]若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1答案A解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－10恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x－2时，f′(x)0；－2x1时，f′(x)0；x1时，f′(x)0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.5．[2017·全国卷Ⅲ·理2，本题考查了复数运算，模的求解，考查了运算求解能力]设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12B.22C.2D．2答案C解析解法一：由(1＋i)z＝2i得z＝2i1＋i＝1＋i，∴|z|＝2.故选C.解法二：∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝2.故选C.6．[2017·北京高考·理2，本题考查了复数的计算，复数的几何意义]若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)答案B解析∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1.故选B.7．[2017·山东高考·理2，本题考查了复数的运算，考查了运算求解能力]已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1B.7或－7C．－3D.3答案A解析∵z·z＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.∵z＝a＋3i，∴|z|＝a2＋3，∴a2＋3＝2，∴a＝±1.故选A.二、填空题8．[2017·天津高考·理9，本题考查了复数的计算，考查了运算求解能力]已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．答案－2解析∵a∈R，a－i2＋i＝a－－＋－＝2a－1－a＋5＝2a－15－a＋25i为实数，∴－a＋25＝0，∴a＝－2.9．[2017·山东高考·理15，本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生分析，推理能力，运算求解能力]若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.答案①④解析设g(x)＝exf(x)．对于①，g(x)＝ex·2－x(x∈R)，g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln2＝(1－ln2)·ex·2－x＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故①中f(x)具有M性质．对于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln3＝(1－ln3)·ex·3－x＜0，∴函数g(x)在R上单调递减，故②中f(x)不具有M性质．对于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2，当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故③中f(x)不具有M性质．对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故④中f(x)具有M性质．综上，具有M性质的函数的序号为①④.10．[2017·浙江高考·理12，本题考查了复数的计算，考查了方程思想，计算能力]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.答案52解析(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得a2－b2＝3，ab＝2.解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.11．[2017·江苏高考·理2，本题考查了复数的计算，考查了计算能力]已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．答案10解析解法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴|z|＝－2＋32＝10.解法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.三、解答题12．[2017·全国卷Ⅰ·理21，本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，考查了运算求解能力，分类讨论的数学思想]已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(ⅰ)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ⅱ)若a＞0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－1a＋lna.①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋lna＞0，即f(－lna)＞0，故f(x)没有零点；③当a∈(0,1)时，1－1a＋lna＜0，即f(－lna)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．设正整数n0满足n0＞ln3a－1，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln3a－1＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．综上，a的取值范围为(0,1)．13．[2017·全国卷Ⅱ·理21，本题考查了利用导数研究函数的极值，证明不等式等，考查了综合分析问题，解决问题的能力，运算求解能力]已知函数f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2f(x0)2－2.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．设g(x)＝ax－a－lnx，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－1x，g′(1)＝a－1，得a＝1.若a＝1，则g′(x)＝1－1x.当0x1时，g′(x)0，g(x)单调递减；当x1时，g′(x)0，g(x)单调递增．所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.综上，a＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx.设h(x)＝2x－2－lnx，则h′(x)＝2－1x.当x∈0，12时，h′(x)0；当x∈12，＋∞时，h′(x)0.所以h(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增．又h(e－2)0，h120，h(1)＝0，所以h(x)在0，12上有唯一零点x0，在12，＋∞上有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)0；当x∈(x0,1)时，h(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)0.因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点．由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈0，12得f(x0)14.因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0得f(x0)f(e－1)＝e－2.所以e－2f(x0)2－2.14．[2017·全国卷Ⅲ·理21，本题考查了利用导数研究函数极值，最值，不等式恒成立问题，考查了推理论证能力，运算求解能力，构造函数的数学思想]已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，1＋12·1＋122·…·1＋12n＜m，求m的最小值．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，①若a≤0，因为f12＝－12＋aln2＜0，所以不满足题意．②若a＞0，由f′(x)＝1－ax＝x－ax知，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增．故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.(2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－lnx＞0.令x＝1＋12n，得ln1＋12n＜12n，从而ln1＋12＋ln1＋122＋…＋ln1＋12n＜12＋122＋…＋12n＝1－12n＜1.故