2019-2020学年高中数学 单元测试卷1 新人教A版选修4-4

第一讲单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点M的极坐标为(2，2kπ＋2π3)(k∈Z)，则点M的直角坐标为()A．(1，3)B．－1，3C．－1，－3D．1，－3答案B2．空间直角坐标系中，点P(1，－1，1)的柱坐标为()A．(2，3π4，1)B．(2，7π4，1)C．(3，3π4，1)D．(3，7π4，1)答案B3．曲线ρ2＋1＝22ρsin(θ＋3π4)的中心在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析由曲线的极坐标方程ρ2＋1＝22ρsin(θ＋3π4)，得ρ2＋1＝22ρ(－22sinθ＋22cosθ)．∴ρ2＋1＝2ρcosθ－2ρsinθ.由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，得x2＋y2－2x＋2y＋1＝0.配方，得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.这是圆的标准方程，圆心坐标为(1，－1)，在第四象限．4．极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为()A．x2＋(y－2)2＝4B．x2＋(y＋2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4D．(x＋2)2＋y2＝4答案A解析由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ.于是x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.5．椭圆x23＋y24＝1的一个焦点的极坐标为()A．(1，0)B．(0，1)C．(1，π2)D．(1，π)答案C6．已知点的极坐标为O(0，0)，A(－2，－π2)，B(2，3π4)，则△OAB为()A．等边三角形B．等腰锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案D解析由于点A(－2，－π2)，即(2，π2)．又O(0，0)，B(2，3π4)，故|OA|＝2，|OB|＝2.∴|AB|＝22＋（2）2－2×2×2cosπ4＝2.∴∠OBA＝π2，所以△OAB为等腰直角三角形．7．直线θ＝α与ρcos(θ－α)＝1的位置关系是()A．平行B．相交不垂直C．垂直D．不确定答案C8．两圆ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ的公共部分面积是()A.π4－12B．π－2C.π2－1D.π2答案C9．曲线θ＝2π3与ρ＝6sinθ的两个交点之间的距离为()A．1B.3C．33D．6答案C10．曲线ρcosθ＋1＝0关于θ＝π4对称的曲线的极坐标方程是()A．ρsinθ＋1＝0B．ρsinθ－1＝0C．ρcosθ－1＝0D．ρcosθ＋1＝0答案A解析设所求曲线上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，它关于θ＝π4的对称点为(ρ，π2－θ)，代入ρcosθ＋1＝0，得ρcos(π2－θ)＋1＝0，即ρsinθ＋1＝0为所求．11．圆ρ＝2(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是()A．(1，π4)B．(12，π4)C．(2，π4)D．(2，π4)答案A解析∵圆ρ＝2(cosθ＋sinθ)＝2sin(θ＋π4)，可以看作由圆ρ＝2sinθ绕极点顺时针旋转π4得到．而ρ＝2sinθ的圆心为(1，π2)，顺时针旋转π4得到(1，π4)，∴ρ＝2(cosθ＋sinθ)的圆心坐标为(1，π4)．12．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋π4)(r0)的公共弦所在直线的方程为()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.2ρ(sinθ＋cosθ)＝rD.2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r答案D解析圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①圆ρ＝－2rsin(θ＋π4)＝－2r(sinθcosπ4＋cosθsinπ4)＝－2r(sinθ＋cosθ)．两边同乘以ρ，得ρ2＝－2r(ρsinθ＋ρcosθ)．∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋2rx＋2ry＝0.②①－②整理，得2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．再将直线2(x＋y)＝－r化为极坐标方程为2ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．已知极坐标系中，极点为O，将点A(4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标为________．答案(6－2，6＋2)14．已知点M的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．答案(－π3，3π3，2π3)(23π3，π4，2π3)解析设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝2π3cos2π3＝－π3，y＝2π3sin2π3＝3π3，z＝2π3.由r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得r＝22π3，cosφ＝22，即r＝22π3，φ＝π4.∴点M的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．15．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θπ2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．答案(23，π6)解析由ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，(ρ≥0，0≤θπ2)，解得ρ＝23，θ＝π6，即两曲线的交点为(23，π6)．16．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案(1，0)(2，π4)解析圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，圆心(1，0)的极坐标仍是(1，0)，它与方程θ＝π4(ρ0)所表示的图形即射线y＝x(x0)的交点坐标是(1，1)，化为极坐标为(2，π4)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．解析在直线l上任取一点M(ρ，θ)．在直角三角形OMA中，由三角知识，得ρcos(α－θ)＝d，即ρ＝dcos（α－θ）.这就是直线l的极坐标方程．18．(12分)根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．(1)ρsinθ2cosθ2＝1；(2)ρ2(25－16cos2θ)＝225.解析(1)∵ρsinθ2cosθ2＝1，∴2ρsinθ2cosθ2＝2，即ρsinθ＝2.∴y＝2为平行于x轴的直线．(2)将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2(25－16cos2θ)＝225，得25x2＋25y2－16x2＝225.∴9x2＋25y2＝225.∴x225＋y29＝1为焦点在x轴上的椭圆．19．(12分)(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转π2得到圆D，求圆D的方程．解析(1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D：ρ＝2cos(θ－1－π2)，即ρ＝－2sin(1－θ)．∴ρ＝2sin(θ－1)为所求．20．(12分)在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．解析(1)如图，由正弦定理，得ρsin2π3＝1sin（π3－θ），即ρsin(π3－θ)＝sin2π3＝32.∴所求直线的极坐标方程为ρsin(π3－θ)＝32.(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝π2，∠OAH＝π3，则OH＝OAsinπ3＝32.即极点到该直线的距离等于32.21．(12分)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解析以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)方法一：由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋4y＝0，解得x1＝0，y1＝0或x2＝2，y2＝－2.即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.方法二：两圆方程相减，即得两圆的公共弦所在直线的方程．22．(12分)在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值．解析(1)设点P(ρ，θ)，点M(ρ1，θ1)，则ρ·ρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1·cosθ1＝4，∴12ρ·cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ(ρ≠0)．(2)点P的轨迹为以(32，0)为圆心，半径为32的圆，但除去极点．∴PR的最小值为4－3＝1.