2019-2020学年高中数学 单元测试卷2 新人教A版选修4-4

第二讲单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与参数方程x＝t，y＝21－t(t为参数)等价的普通方程为()A．x2＋y24＝1B．x2＋y24＝1(0≤x≤1)C．x2＋y24＝1(0≤y≤2)D．x2＋y24＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)答案D2．直线3x－4y－9＝0与圆：x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案D3．圆(x－r)2＋y2＝r2(r0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为()A.x＝rcosφ，y＝rsinφB.x＝r（1＋cosφ），y＝rsinφC.x＝rcosφ，y＝r（1＋sinφ）D.x＝r（1＋cos2φ），y＝rsin2φ答案D4．直线x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2，3)的距离于2的点的坐标是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－3，4)或(－1，2)D．(－4，5)或(0，1)答案C5．设椭圆的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数，0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上两点，M，N对应的参数为θ1，θ2，且x1x2，则()A．θ1θ2B．θ1θ2C．θ1≥θ2D．θ1≤θ2答案B6．双曲线x＝4secθ，y＝2tanθ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P，O为原点，则OP的斜率为()A.34B.32C.3D．2答案A7．过点(0，2)且与直线x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)互相垂直的直线方程为()A.x＝3t，y＝2＋tB.x＝－3t，y＝2＋tC.x＝－3t，y＝2－tD.x＝2－3t，y＝t答案B解析直线x＝2＋t，y＝1＋3t化为普通方程为y＝3x＋1－23，其斜率k1＝3，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－33，故参数方程为x＝－3t，y＝2＋t(t为参数)．8．若动点(x，y)在曲线x24＋y2b2＝1(b0)上变化，则x2＋2y的最大值为()A.b24＋4（0b≤4）2b（b4）B.b24＋4（0b2）2b（b≥2）C.b24＋4D．2b答案A9．过点(0，2)且与直线x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)互相垂直的直线的参数方程(t为参数)为()A.x＝3ty＝2＋tB.x＝－3ty＝2＋tC.x＝－3ty＝2－tD.x＝2－3ty＝t答案B解析直线x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)化为普通方程为y＝3x－23＋1，它的斜率为3，因此过点(0，2)且与已知直线互相垂直的直线的普通方程为y＝－33x＋2，与它等价的参数方程为B，故选B.10．已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为()A．(1，55)B．(1，255)C．(12，55)D．(12，255)答案B解析将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x25＋y2＝1(y≥0，x≠－5)和y2＝45x，联立解得交点坐标为(1，255)，故选B.11．圆的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数，0≤θ2π)，若Q(－2，23)是圆上一点，则参数θ的值是()A.π3B.23πC.43πD.53π答案B解析由4cosθ＝－2，得θ＝23π或θ＝43π.由4sinθ＝23，得θ＝π3或θ＝23π，故θ＝23π.12．直线x＝－2＋t，y＝1－t(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为()A．72B．4014C.82D.93＋43答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．参数方程x＝et＋e－t，y2＝et－e－t(t为参数)的普通方程为________．答案x24－y216＝1(x≥2)14．若过点P(－3，3)且倾斜角为5π6的直线交曲线x＝2cosθ，y＝sinθ于A、B两点，则|AP|·|PB|＝______．答案1647解析直线的参数方程为x＝－3＋tcos5π6，y＝3＋tsin5π6(t为参数)，依题意得－3－32t＝2cosθ，3＋12t＝sinθ，消去θ，得716t2＋12＋334t＋414＝0.设其两根为t1、t2，则t1t2＝1647，∴|AP|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝1647.15．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：x＝1＋2cosθ，y＝1＋2sinθ，则C上各点到l的距离的最小值为________．答案22－2解析圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圆心到直线的距离为d＝|1－1＋4|12＋（－1）2＝22.∴距离最小值为22－2.16．已知直线l：x＝3＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)与圆C：x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ为参数)相切，则α＝________．答案0或2π3解析直线l：x＝3＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)的普通方程式为y＝tanα(x－3)，且过定点A(3，0)，倾斜角为α，圆C：x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ为参数)的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.圆心为C(0，1)，半径为r＝1，l：tanαx－y－3tanα＝0.∴圆心到直线的距离d＝|－1－3tanα|1＋tan2α＝1∴tanα＝0或tanα＝－3，∴α＝0或α＝23π.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)参数方程x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)化成普通方程．解析由x＝2＋sin2θ，①y＝－1＋cos2θ，②得x－2＝sin2θ，①y＋1＝1－2sin2θ.②∴①×2＋②，得2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.∴普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．18．(12分)已知点P(x，y)在椭圆x23＋y2＝1上，且x＋y＋a≥0恒成立，求a的取值范围．解析设椭圆x23＋y2＝1上的点P(3cosθ，sinθ)，则x＋y＝3cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋π3)的最大值等于2，此时θ＝π6，最小值等于－2，此时θ＝7π6，∴－2≤x＋y≤2，－2≤－(x＋y)≤2.∴a≥－(x＋y)恒成立，即a≥2.19．(12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x＝22t＋m，y＝22t(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝14，试求实数m的值．解析(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，直线l的直角坐标方程为y＝x－m.(2)由(1)知：圆心的坐标为(2，0)，圆的半径r＝2，∴圆心到直线l的距离为d＝22－（142）2＝22.∴|2－0－m|12＋（－1）2＝22⇒|m－2|＝1.∴m＝1或m＝3.20．(12分)已知曲线C1：x＝－4＋cosα，y＝3＋sinα，(α为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数)．(1)分别求出曲线C1，C2的普通方程；(2)若C1上的点P对应的参数为α＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t，(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标．解析(1)由曲线C1：x＝－4＋cosα，y＝3＋sinα，(α为参数)，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1，它表示一个以(－4，3)为圆心，以1为半径的圆；由C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数)，得x264＋y29＝1，它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当α＝π2时，P点的坐标为(－4，4)，设Q点坐标为(8cosθ，3sinθ)，PQ的中点M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)．∵C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t，∴C3的普通方程为x－2y－7＝0，∴d＝|－2＋4cosθ－4－3sinθ－7|5＝|4cosθ－3sinθ－13|5＝|5sin（θ＋φ）－13|5，∴当sinθ＝－35，cosθ＝45时，d的最小值为855，∴Q点坐标为(325，－95)．21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为x＝a＋2t2，y＝1＋2t2(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．解析(1)∵曲线C1的参数方程为x＝a＋2t2，y＝1＋2t2(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∵ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y2＝4x，x＝a＋2t2，y＝1＋2t2，得t2－22t＋2－8a＝0.则Δ＝(－22)2－4(2－8a)＞0，即a＞0，t1＋t2＝22，t1·t2＝2－8a，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有t1＋t2＝3t2＝22，t1·t2＝2t22＝2－8a，解得a＝136＞0，符合题意；当t1＝－2t2时，有t1＋t2＝－t2＝22，t1·t2＝－2t22＝2－8a，解得a＝94＞0，符合题意．综上所述，a＝136或a＝94.22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1，0)且倾斜角为π3，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋π6)．①求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；②若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求1|PM|＋1|PN|的值．解析①由题易知，直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t，(t为参数)．∵ρ＝4sin(θ＋π6)＝23sinθ＋2cosθ，∴ρ2＝23ρsinθ＋2ρcosθ.∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2＝23y＋2x，∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.②将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t，(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－3)2＝4，得t2－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－10，∴1|PM|＋1|PN|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1|＋|t2||t1t2|＝|t1－t2||t1t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2|t1t2|＝9＋41＝13.