2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等

第3课时三个正数的算术—几何平均不等式A．基础巩固1．若a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为()A．9B．8C．3D．13【答案】A【解析】∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b＋c)·1a＋1b＋1c≥33abc·331a·1b·1c＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时1a＋1b＋1c取得最小值，且最小值为9.故选A．2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式一定成立的是()A．V≥πB．V≥18πC．V≤πD．V≤18π【答案】C【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，V＝πr2h≤π·r＋r＋h33＝π.故选C．3．已知x，y，z均为正数，1x＋1y＋1z＝1，则xyz＋yxz＋zxy的最小值是()A．1B．3C．33D．333【答案】A【解析】∵x，y，z均为正数，1x＋1y＋1z＝1，∴xy＋xz＋yzxyz＝1(x，y，z均为正数)．∵xyz＋yxz＋zxy＝x2＋y2＋z2xyz＝12x2＋y212x2＋z212y2＋z2xyz≥xy＋xz＋yzxyz＝1，当且仅当x＝y＝z＝3时等号成立．故选A．4．设0＜x＜12，则y＝x2(1－2x)的最大值为()A．1B．13C．127D．19【答案】C【解析】∵0＜x＜12，∴y＝x2(1－2x)＝x·x(1－2x)≤x＋x＋1－2x33＝127，当且仅当x＝x＝1－2x，即x＝13时取得最大值127.5．函数y＝3x＋12x2(x＞0)的最小值为()A．6B．3336C．9D．15【答案】C【解析】∵x＞0，∴y＝3x＋12x2＝3x2＋3x2＋12x2≥3·33x2·3x2·12x2＝9.当且仅当3x2＝3x2＝12x2即x＝2时，y＝3x＋12x2(x＞0)的最小值为9.6．已知a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．【答案】6＋42【解析】∵a，b，c都是正数且a＋2b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝(a＋2b＋c)1a＋1b＋1c＝4＋2ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋2bc≥4＋22＋2＋22＝6＋42，当且仅当a＝c＝2b时等号成立．∴1a＋1b＋1c的最小值为6＋42.7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R且为常数)和g(x)＝2x＋1x2的定义域均为12，2，如果当自变量取同一值时，函数f(x)与g(x)有相同的最小值，则函数f(x)在12，2上的最大值为__________．【答案】4【解析】g(x)＝2x＋1x2＝x＋x＋1x2≥3，当且仅当x＝1x2，即x＝1时g(x)取得最小值3.由已知当x＝1时，f(x)有最小值3，所以－b2＝1，且1＋b＋c＝3.解得b＝－2，c＝4，故f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，又(2－1)2＞12－12，从而f(x)的最大值为f(2)＝4.B．能力提升8．已知a，b，c为正实数，求证：(1)ab＋bc＋caba＋cb＋ac≥9；(2)(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.【证明】(1)因为a，b，c∈R＋，所以ab＋bc＋ca≥33ab·bc·ca＝3，ba＋cb＋ac≥33ba·cb·ac＝3.故ab＋bc＋caba＋cb＋ac≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．(2)因为a，b，c∈R＋，所以a＋b＋c≥33abc，a2＋b2＋c2≥33a2·b2·c2.所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥33abc·33a2·b2·c2＝9abc.故(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.