2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 1 平面直角坐标系学案 新人教A版选修4-4

一平面直角坐标系学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)3.能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．教材整理1平面直角坐标系阅读教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题．1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．3．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为()A．(3,6)B．(3，－6)C．(2，－4)D．(－2,4)[解析]设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.[答案]B教材整理2平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题．设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ0，y′＝μ·yμ0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线[解析]由伸缩变换的意义可得．[答案]D2．y＝cosx经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后，曲线方程变为()A．y′＝3cosx′2B．y′＝3cos2x′C．y′＝13cosx′2D．y′＝13cos2x′[解析]由x′＝2xy′＝3y，得x＝12x′y＝13y′，又∵y＝cosx，∴13y′＝cosx′2，即y′＝3cosx′2.[答案]A运用坐标法解决平面几何问题【例1】已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思路探究]从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．[自主解答]法一(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点Eb2，c2，由对称性知D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．法二(向量法)在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，两边平方得AC→2＝|AC→|2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→，同理得BD→2＝|BD→|2＝BA→2＋BC→2＋2BA→·BC→，以上两式相加，得|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)＋2BC→·(AB→＋BA→)＝2(|AB→|2＋|AD→|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤：(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．1．已知△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|.求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．[证明]法一以A(O)为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则Da＋b2，c2，所以|AD|2＋|BD|2＝a＋b24＋c24＋a－b24＋c24＝12(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．法二延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．用坐标法解决实际问题【例2】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？[思路探究]本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．[自主解答]设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)，∴kPA＝538－3＝3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A，B，C的相对位置一定，因此解决问题的关键是如何建系．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．2．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍，已知A、B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用最低，求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？[解]如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，设P点的坐标为(x，y)，P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/千米)．当由P地到A、B两地购物费用相等时，有“价格＋A地运费＝价格＋B地运费”，∴3a·x＋52＋y2＝a·x－52＋y2，化简整理，得x＋2542＋y2＝1542.(1)当P点在以－254，0为圆心，154为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等．(2)当P点在上述圆内时，∵x＋2542＋y21542，∴[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]＝8x＋2542＋y2－15420，∴3x＋52＋y2x－52＋y2.故此时到A地购物最合算．(3)当P点在上述圆外时，同理可知，此时到B地购物最合算．伸缩变换[探究问题]1．怎样由正弦曲线y＝sinx得到曲线y＝sin2x?[提示]如图，在正弦曲线y＝sinx上任取一点P(x，y)，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的12，那么正弦曲线y＝sinx就变成曲线y＝sin2x.2．怎样由正弦曲线y＝sinx得到曲线y＝3sinx?[提示]如图，在正弦曲线y＝sinx上任取一点P(x，y)，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，那么正弦曲线y＝sinx就变成曲线y＝3sinx.3．怎样由正弦曲线y＝sinx得到曲线y＝3sin2x?[提示]实际上，这是上述探究1、2的“合成”：如图，先保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的12；在此基础上再将纵坐标y变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y＝sinx得到曲线y＝3sin2x.【例3】在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换后得到点B′－3，12，求点B的坐标；(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程；(4)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．[思路探究](1)由伸缩变换x′＝3x，2y′＝y，求得x′，y′，即用x，y表示x′，y′；(2)(3)(4)将求得的x，y代入原方程得x′，y′间的关系．[自主解答](1)设点A′(x′，y′)．由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得到x′＝3x，y′＝12y.又已知点A13，－2.于是x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴变换后点A′的坐标为(1，－1)．(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得到x＝13x′，y＝2y′，由于B′－3，12，于是x＝13×(－3)＝－1，y＝2×12＝1，∴B(－1,1)为所求．(3)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′y＝2y′，代入y＝6x得2y′＝6×13x′，所以y′＝x′，即y′＝x′为所求．(4)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，将x＝13x′y＝2y′代入x2－y264＝1，得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，∴a2＝9，b2＝16，c2＝25，因此曲线C′的焦点F′1(5,0)，F′2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是理解平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系：已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：x′＝λ·xλ0，y′＝μ·yμ0，则点的坐标与曲线的方程的关系为：联系类型变换前变换后点P(x，y)(λx，μy)曲线Cf(x，y)＝0f1λx′，1μy′＝03．若将例3中第(4)题改为：如果曲线C经过φ变换后得到的曲线的方程为x′2＝18y′，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程？请说明理由．[解]设曲线C上任意一点M(x，y)，经过φ变换后对应点M′(x′，y′)．由x′＝3x，2y′＝y，得x′＝3x，y′＝y2.(*)又M′(x′，y′)在曲线x′2＝18y′上．①将(*)代入①式得(3x)2＝18×12y，即x2＝y为曲线C的方程．可见仍是抛物线，其中p＝12，抛物线x2＝y的焦点为F0，14，准线方程为y＝－14.1．如何由正弦曲线y＝sinx经伸缩变换得到y＝12sin12x的图象()A．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12[解析]y＝sinx――――――――→横坐标伸长为原来的2倍＝1，∴x2＋y2＝4.因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)．