2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 3 简单曲线的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4

三简单曲线的极坐标方程学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点)3.能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)教材整理1曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．教材整理2极坐标方程阅读教材P12～P13“例1”以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是()A.12，π3B.－12，2π3C.12，－π3D.12，－2π3[解析]点12，－2π3的极坐标满足ρ＝12，θ＝－2π3，且ρ≠cosθ＝cos－2π3＝－12.[答案]D教材整理3常见的极坐标方程阅读教材P13～P15，完成下列问题．曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0θπ)极坐标方程ρ＝cosπ4－θ所表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆[解析]∵ρ＝cosπ4－θ＝22cosθ＋22sinθ，ρ2＝22ρcosθ＋22ρsinθ，∴x2＋y2＝22x＋22y，这个方程表示一个圆．[答案]D直线或射线的极坐标方程【例1】求过点A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．[思路探究]画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验．[自主解答]法一设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ.在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，即ρsin3π4＝1sinπ4－θ，故ρsinπ4－θ＝22，即ρsinπ4cosθ－cosπ4sinθ＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4，ρ≥0和5π4θ2π，ρ≥0.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.∵直线的斜率k＝tanπ4＝1，∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入上式，得ρsinθ＝ρcosθ－1，∴ρ(cosθ－sinθ)＝1，其中，0≤θπ4，ρ≥0和5π4θ2π，ρ≥0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．1．若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？[解]由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsinπ4－θ＝22，化简得ρ(cosθ－sinθ)＝1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝1其中ρ≥0，0≤θπ4.极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线ρsinθ－π4＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|.[思路探究]利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．[自主解答](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)由ρsinθ－π4＝0，得ρ22sinθ－22cosθ＝0，即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝5，圆心(2,1)到直线x－y＝0的距离为d＝|2－1|2＝12，∴|AB|＝2r2－d2＝32.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．2．在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．[解析]极坐标系中点2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y＝2，故所求距离为1.[答案]1极坐标方程的应用【例3】从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．[思路探究](1)建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化．(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值．[自主解答](1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，即x－322＋y2＝322，知P的轨迹是以32，0为圆心，半径为32的圆．直线l的直角坐标方程是x＝4.结合图形(图略)易得|RP|的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧︵AB5．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．[解]由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，即：2x－y＋7＝0.设M(ρ，θ)为直线上任意一点，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直角坐标方程2x－y＋7＝0得：2ρcosθ－ρsinθ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．