2019-2020学年高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 比较法讲义 新

1.5.1比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明ab，只要证明a－b0；要证明ab，只要证明a－b0.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．(2)作商比较法若a0，b0，要证明ab，只要证明ab1；要证明ba，只要证明ba1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2比较法证明不等式的步骤比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．t＞sB．t≥sC．t＜sD．t≤s[解析]s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.[答案]D2．已知P＝1a2＋a＋1，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是()A．P＞0B．P＜QC．P≥QD．P≤Q[解析]∵QP＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴P≤Q.[答案]D作差比较法证明不等式【例1】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1.对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0，∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．1．已知a，b为正数，证明：a2＋b2≥ab(a＋b)．[证明]a2＋b2－ab(a＋b)＝a2－aab＋b2－bab＝aa(a－b)＋bb(b－a)＝(a－b)(aa－bb)＝(a－b)(a－b)(a＋ab＋b)＝(a－b)2(a＋ab＋b)≥0，∴a2＋b2≥ab(a＋b).求商比较法证明不等式【例2】已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.[精彩点拨]判断logaa－1与loga＋1a的符号→作商化简→与1比较大小→下结论[自主解答]∵a＞2，则a－1＞1，∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，由于logaa－1loga＋1a＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜logaa－1＋logaa＋122＝logaa2－122.∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，∴logaa2－122＜logaa222＝1，因此logaa－1loga＋1a＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.1．当不等式的两端为对数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔ab＞1，证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．2．已知abc0，求证：a2ab2bc2cab＋cbc＋aca＋b.[证明]由abc0，得ac＋bbc＋aca＋b0，a2ab2bc2c0.所证不等式左边除以右边，得a2ab2bc2cab＋cbc＋aca＋b＝aaaabbbbccccabacbcbacacb＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b比较法的实际应用【例3】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精彩点拨]设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．[自主解答]设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2，∴t1＝2sm＋n，t2＝sm＋n2mn，∴t1－t2＝2sm＋n－sm＋n2mn＝s[4mn－m＋n2]2mnm＋n＝－sm－n22mnm＋n.其中s，m,n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用题中解决不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．3．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面是圆的水管流量大还是截面是正方形的水管流量大？[解]设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·l2π2，截面是正方形的水管的截面面积为l42.∵π·l2π2－l42＝l241π－14＝4－πl216π.由于l＞0,0＜π＜4，∴4－πl216π＞0，∴π·l2π2＞l42.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.用比较法证明不等式[探究问题]1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？[提示]作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．作商比较法主要适用类型是什么？其证明的一般步骤是什么？[提示]作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明．其证明的一般步骤：作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论．【例4】求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋b2.[精彩点拨](1)利用作差比较法，注意变形分解；(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小．[自主解答](1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)22x＋122＋12≥0，∴1＋2x4≥2x3＋x2.法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，∴1＋2x4≥2x3＋x2.(2)aabbaba+b2＝aa－b2bb－a2＝aba－b2，当a＝b时，aba－b2＝1；当a＞b＞0时，ab＞1，a－b2＞0，则aba－b2＞1；当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b2＜0，则aba－b2＞1.综上可知，当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a+b2成立．4．已知a，b均为正数，n∈N*，求证：bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.[证明]设P＝bn－1an＋an－1bn－1a＋1b＝bn－1－an－1an＋an－1－bn－1bn＝(an－1－bn－1)1bn－1an＝an－1－bn－1an－bnanbn.若a＞b＞0，则an－1＞bn－1，an＞bn，所以an－1－bn－1＞0，an－bn＞0，且anbn＞0，因此P＞0.若b＞a＞0，则an－1＜bn－1，an＜bn，所以an－1－bn－1＜0，an－bn＜0，且anbn＞0，故P＞0；若a＝b＞0，则P＝0.综上所述，P≥0，故原式成立．1．已知a＞2，b＞2，则()A．ab≥a＋bB．ab≤a＋bC．ab＞a＋bD．ab＜a＋b[解析]∵a＞2，b＞2，∴a2－1＞0，b2－1＞0，则ab－(a＋b)＝a12b－1＋b12a－1＞0.∴ab＞a＋b.[答案]C2．已知a＞b＞－1，则1a＋1与1b＋1的大小关系为()A.1a＋1＞1b＋1B.1a＋1＜1b＋1C.1a＋1≥1b＋1D.1a＋1≤1b＋1[解析]∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则1a＋1－1b＋1＝b－aa＋1b＋1＜0，∴1a＋1＜1b＋1.[答案]B3．下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔ab＞1；②当b＞0时，a＜b⇔ab＜1；③当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b.其中真命题是()A．①②③B．①②④C．④D．①②③④[解析]由不等式的性质，①，②，③正确．当ab＞0时，(若b＜0，a＜0)，ab＞1与a＞b不等价，④错．[答案]A4．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．[解析]b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m＞0.又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0，即a＞b.[答案]a＞b5．已知x＞－1，求证：1＋x≤1＋x2.[证明]∵x＞－1，∴1＋x＞0，1＋x＞0.又1＋x－1＋x2＝－12[(x＋1)－2x＋1＋1]＝－x＋1－122≤0，故不等式1＋x≤1＋x2成立．