2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 课时作业2 导数的概念

课时作业2导数的概念知识点一瞬时速度1.一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)＝18t2，当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A．2B．1C.12D.14答案C解析Δs＝18(2＋Δt)2－18×22＝18[4＋4Δt＋(Δt)2－4]＝18[(Δt)2＋4Δt]，∴ΔsΔt＝18Δt＋12.∴当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于12.即t＝2时，瞬时速度为12.2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线答案D解析当f(x)＝b时，瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0b－bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．3．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4答案B解析设物体在t时刻的速度为零，则limΔt→0ΔsΔt＝0，ΔsΔt＝－4t＋Δt2＋16t＋Δt＋4t2－16tΔt＝－8Δt·t－4Δt2＋16ΔtΔt＝－8t－4Δt＋16，∴limΔt→0ΔsΔt＝－8t＋16＝0，∴t＝2.知识点二导数的定义4.函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h均无关答案B解析由导数的概念可知，limh→0fx0＋h－fx0h＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关，故选B.5．若f′(x0)＝1，则limΔx→0fx0－Δx－fx02Δx＝()A.12B．－12C．1D．－1答案B解析f′(x0)＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝1，∴limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝－1，∴limΔx→0fx0－Δx－fx02Δx＝12×(－1)＝－12.6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.答案114解析ΔsΔt＝7t0＋Δt2＋8－7t20＋8Δt＝7Δt＋14t0，当limΔt→0(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝114.知识点三导数的实际意义7.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．解根据导数的定义，得ΔyΔt＝f2＋Δt－f2Δt＝32＋Δt－3×2Δt＝3，所以f′(2)＝limΔt→0ΔyΔt＝3.f′(2)的意义是：水流在2s时的瞬时流速为3m3/s，即如果保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.一、选择题1．一物体的运动方程是s＝12at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()A．at0B．－at0C.12at0D．2at0答案A解析∵ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt＝12aΔt＋at0，∴limΔt→0ΔsΔt＝at0.2．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足limΔx→0fΔxΔx＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2答案B解析∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝limΔx→0f0＋Δx－f0Δx＝limΔx→0fΔxΔx＝－1，∴选B.3．已知f(x)＝2x，且f′(m)＝－12，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2答案D解析f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝－2x2，于是有－2m2＝－12，m2＝4，解得m＝±2.4．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x0)＝－aB．f′(x0)＝－bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b答案C解析∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴fx0＋Δx－fx0Δx＝a＋b·Δx.∴limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.∴f′(x0)＝a.故选C.5．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则limΔx→0fΔx－1＋f1Δx等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝limΔx→0f－1＋Δx－f－1Δx＝f′(－1)＝1.二、填空题6．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为______，落体在t＝2时的瞬时速度为________．答案20＋5Δt20解析由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为v－＝52＋Δt2－5×22Δt＝20＋5Δt，则当Δt→0时v－→20，即t＝2时的瞬时速度为20.7．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.答案1解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.∴ΔyΔx＝aΔx3－3aΔx2＋3aΔxΔx＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1.8．已知y＝x＋4，则y′|x＝1＝________.答案510解析由题意知Δy＝1＋Δx＋4－1＋4＝5＋Δx－5，所以ΔyΔx＝5＋Δx－5Δx.所以y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→05＋Δx－5Δx＝limΔx→05＋Δx－55＋Δx＋5Δx5＋Δx＋5＝limΔx→015＋Δx＋5＝510.三、解答题9．已知函数f(x)＝x，x≥0，1＋x2，x0，求f′(1)·f′(－1)的值．解当x＝1时，ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1.由导数的定义，得f′(1)＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.当x＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝1＋－1＋Δx2－1－－12Δx＝Δx－2.由导数的定义，得f′(－1)＝limΔx→0(Δx－2)＝－2.所以f′(1)·f′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解位移公式为s＝12at2，∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.