2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标核心素养1．了解复合函数的概念(易混点)．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).1．通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－sin1B．1＋sin1C．sin1－1D．－sin1A[因为f′(x)＝－sinx＋1x，所以f′(1)＝－sin1＋11＝1－sin1.故选A.]2．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinxB[y′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.]3．函数y＝13x－12的导数是()A.63x－13B.63x－12C．－63x－13D．－63x－12C[∵y＝13x－12，∴y′＝－2×13x－13×(3x－1)′＝－63x－13.]4．函数y＝sin2x＋1是由________三个函数复合而成的．[答案]y＝u，u＝v2＋1，v＝sinx复合函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝12x－13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5uln2＝5x－1ln2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤1．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sin3x－π6；(4)y＝11－2x.[解](1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·ux′＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu，所以y′x＝y′u·u′x＝1u·(ex＋x2)′＝1ex＋x2·(ex＋2x)＝ex＋2xex＋x2.(3)设y＝2sinu，u＝3x－π6，则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6cos3x－π6.(4)设y＝u－12，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝u－12′·(1－2x)′＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.复合函数与导数的运算法则的综合应用【例2】求下列函数的导数．(1)y＝ln3xex；(2)y＝x1＋x2；(3)y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2.[解](1)∵(ln3x)′＝13x×(3x′)＝1x，∴y′＝ln3x′ex－ln3xex′ex2＝1x－ln3xex＝1－xln3xxex.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x21＋x2.(3)∵y＝xcos2x＋π2sin2x＋π2＝x(－sin2x)cos2x＝－12xsin4x，∴y′＝－12xsin4x′＝－12sin4x－x2cos4x·4＝－12sin4x－2xcos4x.1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．2．求下列函数的导数．(1)y＝sin2x3；(2)y＝sin3x＋sinx3；(3)y＝11－x；(4)y＝xln(1＋x)．[解](1)∵y＝1－cos23x2，∴y′＝12－cos23x2′＝13sin23x.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y′＝0－1－x′1－x＝－121－x－121－x′1－x＝121－x1－x.(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋x1＋x.导数运算法则的综合应用[探究问题]1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？[提示]设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，∴点P(0,1)．由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.2．若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？[提示]如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.【例3】(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是()A.5B．25C．35D．0(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.思路探究：(1)设Px0，y0―→由y′|x＝x0＝2求Px0，y0―→点到直线的距离求最小值(2)求y′|x＝0―→由y′|x＝0＝2求a的值(1)A(2)2[(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝22x－1，∴y′|x＝x0＝22x0－1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为25”，求m的值．[解]由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝22x0－1＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)，∴|2－0＋m|5＝25，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．[解]由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－12.∴SΔ＝12×12×1＝14.本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．和与差的运算法则可以推广[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．3．积、商的求导法则(1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，fxgx′＝f′x·gx－fx·g′x[gx]2；(3)当f(x)＝1时，有1gx′＝－g′x[]gx2.4．求简单复合函数f(ax＋b)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案]A2．函数y＝(2019－8x)3的导数y′＝()A．3(2019－8x)2B．－24xC．－24(2019－8x)2D．24(2019－8x)2C[y′＝3(2019－8x)2×(2019－8x)′＝3(2019－8x)2×(－8)＝－24(2019－8x)2.]3．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2xB[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.32[∵f′(x)＝33x－1，∴f′(1)＝33－1＝32.]5．设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．求a，b的值．[解]由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.