2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算法则讲义 新人教B版

1.2.3导数的四则运算法则学习目标核心素养1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)1．通过学习导数的四则运算法则，培养学生的数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、导数的运算法则1．和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．2．积的导数(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．3．商的导数fxgx′＝gxf′x－fxg′xg2x，g(x)≠0.二、复合函数的概念及求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为dydx＝dydu·dudx，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．()(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1．()[解析](1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c.(2)由y＝2sinx－cosx，则y′＝(2sinx)′－(cosx)′＝2cosx＋sinx.(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3.[答案](1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝()A．ex(x＋1)B．1＋exC．x(1＋ex)D．ex(x－1)[解析]f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.[答案]A3．函数f(x)＝sin(－x)的导函数f′(x)＝________.[解析]f′(x)＝[sin(－x)]′＝cos(－x)(－x)′＝－cosx.[答案]－cosx导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝x2－sinx2cosx2.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12.(4)∵y＝x2－sinx2cosx2＝x2－12sinx，∴y′＝2x－12cosx.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．1．(1)设函数f(x)＝sinθ3x3＋3cosθ2x2＋tanθ，其中θ∈0，512π，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2](2)已知f(x)＝exx，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．[解析](1)f′(x)＝sinθ·x2＋3cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sinθ＋π3，∵θ∈0，512π，∴sinθ＋π3∈22，1，∴2sinθ＋π3∈[2，2]．(2)∵f′(x)＝ex′x－ex·x′x2＝exx－1x2(x≠0)．∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得ex0x0－1x20＋ex0x0＝0，解得x0＝12.[答案](1)D(2)12复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[思路探究]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．(2)函数y＝12x－13可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5uln2＝5x－1ln2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数．(1)y＝x1－1－x；(2)y＝log2(2x2－1)．[解](1)y＝x1－1－x＝x1＋1－x1－1－x1＋1－x＝x1＋1－x1－1－x＝1＋1－x.设y＝1＋u，u＝1－x，则y′＝yu′·ux′＝(1＋u)′·(1－x)′＝12u·(－1)＝－121－x.(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，则y′＝y′u·ux′＝1uln2·4x＝4x2x2－1ln2.导数法则的综合应用[探究问题]试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？提示：函数y＝(3x＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2)．【例3】已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝14相切，求实数a的值．[思路探究]求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．[解]因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋2x－2(x2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝|2－a|4a－12＋1＝12，解得a＝118.若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝14相交”，求a的取值范围．[解]由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相交，∴圆心到直线l的距离小于半径．即d＝|2－a|4a－12＋112.解得a118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．1．函数y＝(2019－8x)3的导数y′＝()A．3(2019－8x)2B．－24xC．－24(2019－8x)2D．24(2019－8x)2[解析]y′＝3(2019－8x)2×(2019－8x)′＝3(2019－8x)2×(－8)＝－24(2019－8x)2.[答案]C2．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x[解析]y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.[答案]B3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.[解析]f′(x)＝13x－1·(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝32.[答案]324．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．[答案]y＝3x5．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1．[解](1)函数y＝cos(x＋3)可以看作函数y＝cosu和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(cosu)′·(x＋3)′＝－sinu·1＝－sinu＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1．