2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 课时作业9 函

课时作业9函数的最大(小)值与导数知识点一函数最值的概念1.设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是()A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在此区间上可能没有极值点D．f(x)在此区间上可能没有最值点答案C解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确．2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能答案A解析由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，今M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A.知识点二求函数的最值3.函数f(x)＝x3－3x(|x|1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值答案D解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋1答案C解析因为y′＝1－cosx，当x∈π2，π时，y′0，则函数y＝x－sinx在区间π2，π上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.知识点三含参数的函数的最值问题5.若函数y＝x3＋32x2＋m在[－2,1]上的最大值为92，则m等于()A．0B．1C．2D.52答案C解析y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，令y′＝0，得x＝0或x＝－1.因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋12，又f(1)＝m＋52，f(－2)＝m－2，所以f(1)＝m＋52最大，所以m＋52＝92，所以m＝2.故选C.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′－23＝43－43a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)；递减区间为－23，1.(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2f(2)＝2＋c，解得c－1或c2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．一、选择题1．函数f(x)＝x－12x在区间[0，＋∞)上()A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值D．无最大值，有最小值答案A解析由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝12x－12，令f′(x)0，得f(x)的单调递增区间为[0,1)；令f′(x)0，得f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是()A．0B.1eC.4e4D.2e2答案B解析y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值．故选B.3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－37B．－29C．－5D．－11答案A解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)f(2)f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.4．已知函数f(x)＝aex－x2－(2a＋1)x，若函数f(x)在区间(0，ln2)上有最值，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(－2，－1)D．(－∞，0)∪(0,1)答案A解析f′(x)＝aex－2x－(2a＋1)，令g(x)＝f′(x)，∵函数f(x)在区间(0，ln2)上有最值，∴g(x)在区间(0，ln2)上单调且存在零点，∴g(0)g(ln2)0，即(－a－1)(－2ln2－1)0，可得a＋10，解得a－1，此时g′(x)＝aex－2在区间(0，ln2)上恒小于0，∴g(x)在区间(0，ln2)上单调递减且存在零点，∴实数a的取值范围是(－∞，－1)．5．已知(a＋1)x－1－lnx≤0对任意x∈12，2恒成立，则实数a的最大值为()A．0B．1C．1－2ln2D.－1＋ln22答案C解析原问题等价于a＋1≤lnx＋1x对任意x∈12，1恒成立，令h(x)＝lnx＋1x，则h′(x)＝－lnxx2，令h′(x)＝0，得x＝1，且当x∈12，1时，h′(x)＞0，当x∈(1,2]时，h′(x)＜0，所以函数h(x)在12，1上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为minh12，h2＝h12＝2－2ln2，所以a≤2－2ln2－1＝1－2ln2，选C.二、填空题6．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________．答案2－2解析∵y′＝4x2＋1－2x·4xx2＋12＝－4x2＋4x2＋12，令y′＝0，可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.7．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．答案2－2ln2＋2a解析令F′(x)＝1－2x＝x－2x＝0得x＝2.当x∈(0,2)时F′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)0，∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为________．答案2解析因为曲线过原点，所以c＝0，又在x＝±1处的切线斜率为－1，所以有3＋2a＋b＝－1，3－2a＋b＝－1，解得a＝0，b＝－4，所以f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]，故①正确；又f′(x)＝3x2－4，则函数在－2，－233和233，2上单调递增，在x∈－233，233上单调递减，所以函数的极值点有两个，故②不正确；因为f(－2)＝0，f(2)＝0，f－233＝1639，f233＝－1639，所以函数f(x)的最大值与最小值之和等于零，故③正确．所以正确命题的个数为2.三、解答题9．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，∴g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－13x3＋x2.(2)由(1)知g(x)＝－13x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝2，而g(1)＝53，g(2)＝423，g(2)＝43，因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)＝423，最小值为g(2)＝43.10．已知函数f(x)＝lnx＋ax.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是32，求a的值．解函数f(x)＝lnx＋ax的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，(1)∵a0，∴f′(x)0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a1时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1ae时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝32，得a＝e；④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当ae时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋ae2，仍与最小值是32相矛盾．综上所述，a的值为e.