2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性讲义 新人

1.3.1利用导数判断函数的单调性学习目标核心素养1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升学生的数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f′(x)0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()A．f′(3)0B．f′(3)0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定[解析]由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)0，故f′(3)0.[答案]B3．已知函数f(x)＝12x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．[解析]∵f′(x)＝x－1，令f′(x)0，解得x1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．[答案](1，＋∞)单调性与导数的关系【例1】(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法：①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)0.其中正确的序号是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()[思路探究]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[解析](1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x0时，函数单调递增，导数始终为正；当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.[答案](1)A(2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()ABCD[解析](1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．[答案](1)D(2)A利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝x＋ax(a≠0)的单调区间．[思路探究]求出导数f′(x)，分a0和a0两种情况．由f′(x)0求得单调增区间，由f′(x)0求得单调减区间．[解]f(x)＝x＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax2.当a0时，令f′(x)＝1－ax20，解得xa或x－a；令f′(x)＝1－ax20，解得－ax0或0xa；当a0时，f′(x)＝1－ax20恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[解析](1)∵f′(x)＝(ex－ex)′＝ex－e，由f′(x)＝ex－e0，可得x1．即函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调增区间为(1，＋∞)，故选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x－1，由f′(x)＝1x－10，得0x1，所以函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间是(0,1)，故选B.[答案](1)D(2)B已知函数的单调性求参数的取值范围[探究问题]1．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，如何求实数a的取值范围．提示：由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a＜3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a＜0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.2．若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1,1)，如何求a的取值范围．提示：由f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3，当－3a3＜x＜3a3时，f′(x)＜0.∴f(x)在－3a3，3a3上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.【例3】已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.(1)若函数y在(1，＋∞)内是增函数，求a的取值范围；(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．[思路探究](1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范围．(2)函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a的值．[解]y′＝3x2－a.(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x2)最小值．因为x1，所以3x23.所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′0，得x2a3.若a≤0，则x2a3恒成立，即y′0恒成立，此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．若a0，令y′0，得xa3或x－a3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a＝3.将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？[解]y′＝3x2－a，当a0时，y′＝3x2－a0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a31，∴a3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()[解析]∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.[答案]D2．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)[解析]因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.[答案]A3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．[解析]f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.[答案](1,2)4．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．[解析]f′(x)＝2a－1x＋22，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤12，但当a＝12时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是－∞，12.[答案]－∞，125．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．[解]h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2.因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立，所以a≥G(x)最大值，而G(x)＝1x－12－1．因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)最大值＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716.当a＝－716时，h′(x)＝1x＋716x－2＝16＋7x2－32x16x＝7x－4x－416x.因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝7x－4x－416x≤0，即h(x)在[1,4]上为减函数．故实数a的取值范围是－716，＋∞.