2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值讲义 新人教

1.3.2利用导数研究函数的极值学习目标核心素养1．理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)2．会求函数的极值．(重点)3．会求函数在闭区间上的最值．4．能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题．(难点)1．通过学习函数的极值、极值点、最值等概念，培养学生的数学抽象素养．2．借助利用导数求函数的极值、最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、极值点和极值的概念名称定义表示法极值极大值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值记作y极大＝f(x0)极值极小值已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值记作y极小＝f(x0)极值点极大值点与极小值点统称为极值点二、函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，若函数在[a，b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()[答案](1)√(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值[解析]f′(x)＝2＋sinx0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．[答案]A3．下列说法正确的是________．(填序号)①函数的最大值一定是函数的极大值；②开区间上的单调连续函数无最值；③函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．[答案]②求函数的极值【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝x2－2x－1；(2)f(x)＝x44－23x3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解](1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1．因为当x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0，所以函数在x＝1处有极小值，且y极小＝－2.(2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1．所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝－6.(3)f(x)＝|x|＝x，x≥0，－x，x0.显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导，当x0时，f′(x)＝x′＝10，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；当x0时，f′(x)＝(－x)′＝－10，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x＝0时，函数取得极小值，且y极小＝0.1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：①f′(x0)＝0；②点x0两侧f′(x)的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝x，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x2－2lnx，则f(x)的极小值是__________．[解析]∵f′(x)＝2x－2x，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．[答案]1利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．[思路探究](1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b.(2)由f(－1)＝32求出c，再列表求解．[解](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－23为f′(x)＝0的解．∴1－23＝－23a，1×－23＝b3，∴a＝－12，b＝－2.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1．∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1．∴f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x＝－23或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗4927单调递减↘－12单调递增↗∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.当x＝－23时，f(x)有极大值为f－23＝4927；当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．[解]f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．所以Δ＝m＋32－4m＋60，f′1＝1－m＋3＋m＋60，m＋321，解得m3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．求函数的最值[探究问题]如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．1．观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．2．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？提示：存在．f(x)的最小值为f(a)，f(x)的最大值为f(x3)．3．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？提示：不一定．也可能是区间端点的函数值．【例3】(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0(2)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－eB．－1C．－eD．0(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．[解析](1)因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1．当x1时，y′0，函数单调递减；当x1时，y′0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0，故选D.(2)f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，e)时，f′(x)0，∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1，故选B.[答案](1)D(2)B(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60单调递增↗极大值4单调递减↘极小值3单调递增↗极大值4单调递减↘－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步，求极值、端点值，确定最值．3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________.[解析]f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x∈(－2,0)时，f′(x)0，当x∈(0,2)时，f′(x)0，∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1．[答案]11．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.[答案]B2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值[解析]由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．[答案]C3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．[解析]∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1．[答案]a＜－14．函数y＝xex在[0,2]上的最大值为________．[解析]∵y′＝x′·ex－xex′ex2＝1－xex，令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝1e，f(0)＝0，f(2)＝2e2.∴f(x)最大值＝f(1)＝1e.[答案]1e5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．[解](1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4.(2)由f′(－1)＝0，得a＝12，此时有f(x)＝(x2－4)·x－12，f′(x)＝3x2－x－4.由f′(x)＝0，得x＝43或x＝－1．又f43＝－5027，f(－1)＝92，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.