2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质

第1课时余弦函数的图象与性质学习目标核心素养1．会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．(重点)2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)1．通过余弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助余弦函数图象和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.1．余弦函数的图象把正弦函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数y＝cosx的图象，该图象叫做余弦曲线．2．余弦函数的性质函数y＝cosx定义域R值域[－1,1]奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－13.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2πω.思考：在[0,2π]上画余弦函数图象的五个关键点是什么？[提示]画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．1．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3B[令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．使cosx＝1－m有意义的m的值为()A．m≥0B．0≤m≤2C．－1m1D．m－1或m1B[∵－1≤cosx≤1，∴－1≤1－m≤1，解得0≤m≤2.故选B.]3．比较大小：(1)cos15°________cos35°；(2)cos－π3________cos－π4.(1)(2)[(1)∵y＝cosx在[0°，180°]上为减函数，并且0°15°35°180°，所以cos15°cos35°.(2)∵cos－π3＝cosπ3，cos－π4＝cosπ4，并且y＝cosx在x∈[0，π]上为减函数，又∵0π4π3π，∴cosπ4cosπ3，即cos－π3cos－π4.]用“五点法”作余弦型函数的图象【例1】用“五点法”作函数y＝2＋cosx，x∈[0,2π]的简图．[思路探究]在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．[解]列表：x0π2π32π2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．1．用“五点法”作函数y＝3－2cosx，x∈[0,2π]的简图．[解]按五个关键点列表、描点画出图象(如图)．x0π2π3π22πcosx10－101y＝3－2cosx13531求余弦型函数的单调区间【例2】求函数y＝cosπ6－x的单调递减区间．[思路探究]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cosπ6－x化为y＝cosx－π6形式，故只需求y＝cosx－π6的单调递减区间即可．[解]y＝cosπ6－x＝cosx－π6，令z＝x－π6，则y＝cosz，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，∴2kπ≤x－π6≤2kπ＋π，k∈Z，∴2kπ＋π6≤x≤2kπ＋76π，k∈Z.故函数y＝cosπ6－x的单调递减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π，k∈Z.1．求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A0，ω0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0，ω0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．2．求函数y＝2cosπ4－x的单调递增区间．[解]y＝2cosπ4－x＝2cosx－π4.结合y＝|cosx|的图象．由kπ－π2≤x－π4≤kπ(k∈Z)得kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)．所以函数y＝2cosπ4－x的单调递增区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z).有关三角函数的最值问题【例3】已知函数y1＝a－bcosx的最大值是32，最小值是－12，求函数y＝－4asin3bx的最大值．[思路探究]欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．[解]∵函数y1的最大值是32，最小值是－12，当b0时，由题意得a＋b＝32，a－b＝－12，∴a＝12，b＝1.当b0时，由题意得a－b＝32，a＋b＝－12，∴a＝12，b＝－1.因此y＝－2sin3x或y＝2sin3x.函数的最大值均为2.1．对于求形如y＝acosx＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cosx的范围．2．求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．3．函数y＝sin2x＋cosx－π4≤x≤π4的值域为________．1，1＋22[设cosx＝t，因为－π4≤x≤π4，则t∈22，1，所以y＝1－cos2x＋cosx＝－t－122＋54，t∈22，1，故当t＝22，即x＝±π4时，ymax＝1＋22；当t＝1，即x＝0时，ymin＝1.所以函数的值域为1，1＋22.]正、余弦函数的对称性[探究问题]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？[提示]正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．2．正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？[提示]正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝π2＋kπ，(k∈Z)．余弦曲线的对称中心坐标为kπ＋π2，0，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．3．如何求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？[提示]只需令ωx＋φ＝kπ＋π2即可求得其对称中心的横坐标．令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．【例4】已知函数y＝2cos2x＋2π3.(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．[解](1)令2x＋2π3＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π3(k∈Z)．令k＝0，x＝－π3；令k＝1，x＝π6.∴函数y＝2cos2x＋2π3的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝π6.(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，则f(x)＝2cos2x－φ＋2π3＝2cos2x＋2π3－2φ.∵y＝f(x)的图象关于原点(0,0)对称，∴f(0)＝2cos2π3－2φ＝0.∴2π3－2φ＝kπ＋π2，k∈Z.解得φ＝π12－kπ2(k∈Z)．令k＝0，得φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：1fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的图象关于x＝x0对称⇔fx0＝A或－A.2fx＝Asinωx＋φ或Acosωx＋φ的图象关于点x0，0中心对称⇔fx0＝0.4．把函数y＝cosx＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．[解]由题意平移后的函数为y＝cosx＋4π3－φ，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即4π3－φ＝kπ(k∈Z)．∴φ＝4π3－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值π3.(教师用书独具)1．余弦曲线和正弦曲线的关系2．余弦函数周期性的释疑余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.3．余弦函数的奇偶性(1)余弦函数是偶函数，反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．4．余弦函数单调性的说明(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．余弦函数最值的释疑(1)明确余弦函数的有界性，即|cosx|≤1.(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acosz的形式最值.1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4xD[∵T＝2πω＝π2，∴ω＝4.]2．函数y＝sinx＋20192π是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数B[∵y＝sinx＋20192π＝sinx＋π2＋1009π＝sinx＋π2＝cosx，∴函数y＝sinx＋20192π是偶函数．]3．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是________．[0，π][y＝cos(－x)＝cosx，其单调递减区间为[0，π]．]4．用五点法作出函数y＝1－cosx(0≤x≤2π)的简图．[解]列表：x0π2π32π2πcosx10－1011－cosx01210描点连线，如图．