2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)练

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)(建议用时：40分钟)对应题号考点基础训练能力提升1.分类加法计数原理1,2,762.分步乘法计数原理3,4,5,8,93.两个原理的区分与运用10,1112,13一、选择题1．某学生去书店发现有适合他学习的3本不同的数学书和4本不同的英语书，他决定买其中一本，共有不同的买法种数为()A．7B．9C．12D．16A解析该同学购买的方案有两类：第一类是买一本数学书有3种不同的买法；第二类是买一本英语书，有4种不同的买法．由分类加法计数原理知，共有3＋4＝7种不同的买法．2．现有A，B两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作A种机床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有()A．6B．5C．4D．3C解析若选派甲、乙二人，有甲—A，乙—B和甲—B，乙—A两种方法；若选派甲、丙二人，只有甲—B，丙—A一种方法；若选派乙、丙二人，只有乙—B，丙—A一种方法．由分类加法计数原理知，共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．3．5名应届毕业生报考三所高校，每人仅报考一所院校，则不同的报考方法种数是()A．35B．53C．15D．8A解析完成这件事共分五步：第一步，第一名同学报考有3种不同的报考方法；第二步，第二名同学报考有3种不同的报考方法；依次第三名、第四名、第五名报考各有3种不同报考方法．由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3×3＝35种不同的报考方法．4．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有()A．24种B．36种C．42种D．60种D解析每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆进行，共有4种安排方案．所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种．5．一个旅游景区的游览线路图如图所示，某人从点P处进，从点Q处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有()A．6种B．18种C．24种D．48种D解析从P进入结点O以后，因为每个景区有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法；游览第二个景点有4种选法；游览第三个景点有2种选法．故由分步乘法计数原理得，共有6×4×2＝48种游览方式．6．设直线xa＋yb＝1在y轴上的截距大于在x轴上的截距，其中a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足上述条件的直线条数为()A．20B．24C．12D．11A解析由题意知a＜b，按a的取值可分五类．第一类，a＝1，b＝2,3,4,5,6,7，共6种，得6条不同直线．第二类，a＝2，b＝3,4,5,6,7，共5种，得5条不同直线．第三类，a＝3，b＝4,5,6,7，共4种，得4条不同直线．第四类，a＝4，b＝5,6,7，共3种，得3条不同直线．第五类，a＝5，b＝6,7，共2种，得2条不同直线．由分类加法计数原理可得共6＋5＋4＋3＋2＝20条不同直线．二、填空题7．一个科技小组有3名男同学和5名女同学，从中任选一名同学参加科技竞赛，共有________种不同的选派方法．解析任选一名同学参加科技竞赛有两类方案．第一类，从男同学中选一名，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选一名，有5种不同的选法．由分类加法计数原理知，共有3＋5＝8种不同的选派方法．答案88．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析四个焊接点导致线路通与不通的情况共有24种，其中使线路通的情况为1,4都通且2和3至少有一个通，共3种可能．故不通的情况有24－3＝13种．答案139．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________；五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．解析五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．答案4554三、解答题10．某同学有12本课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读．(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解析(1)完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为5＋4＋3＝12种．(2)完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为5×4×3＝60种．(3)要完成的这件事是带2本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为5×4＋5×3＋3×4＝47种．11．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有多少个？其中不同的偶函数共有多少个？解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，其中a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，能组成不同的二次函数有3×3×2＝18个．若组成的二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个．12．三边长均为整数，且最大边长是11的三角形有多少个？解析另两边分别用x，y来表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须有x＋y≥12，可分成以下六种情况：(1)y＝11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；(2)y＝10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；(3)y＝9时，x＝3，…，9，可有7个三角形；(4)y＝8时，x＝4，…，8，可有5个三角形；(5)y＝7时，x＝5，…，7，可有3个三角形；(6)y＝6时，x＝6，可有1个三角形．由分类加法计数原理知，共有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.四、选做题13．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．解析当乙选择支付宝时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选择支付宝或现金，故有1＋2×2＝5种，而乙选择支付宝时，丙、丁也可以都选择微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选择支付宝或现金，故有1＋2×2＝5种，此时共有5＋5＝10种；当乙选择微信时，丙、丁可以都选择银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选择微信或现金，故有1＋2×2＝5种，而乙选择微信时，丙、丁也可以都选择支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选择微信或现金，故有1＋2×2＝5种，此时共有5＋5＝10种．综上共有10＋10＝20种．答案20