2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.2.2 组合(二)练习 新人教A版选修2-3

1.2.2组合(二)(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.组合中的“至多”与“至少”问题3,102.有限制条件的组合问题1,4,5,6,7,812,133.几何中的组合问题2114.路径中的最短问题9一、选择题1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A．150种B．180种C．300种D．345种D解析当从甲组中选出1名女生时，共有C15C13C26＝225种不同的选法；当从乙组中选出1名女生时，共有C25C16C12＝120种不同的选法．故共有345种选法．2．如图，A，B，C，D是某油田的四口油井，计划建三条路，将这四口油井连接起来(每条路只连接两口油井)，那么不同的建路方案有()A．12种B．14种C．16种D．18种C解析将4口井连接起来需要C24＝6条线段，在此6条线段中任取3条，共有C36＝20种情形，其中若三条线段刚好构成三角形，不满足要求，故应减去4种，所以建路方案有20－4＝16种．3．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是()A．590B．390C．200D．400A解析按每科选派人数分3,1,1和2,2,1两类．当选派人数为3,1,1时，有3类，共有C33C14C15＋C13C34C15＋C13C14C35＝200种选派方法；当选派人数为2,2,1时，有3类，共有C23C24C15＋C23C14C25＋C13C24C25＝390种选派方法．故共有200＋390＝590种选派方法．4．7名同学中，有3人只会唱歌，有2人只会跳舞，有2人既会唱歌又会跳舞．现从中选出4名同学，安排其中2人唱歌，2人跳舞，则不同的安排方法的种数有()A．37B．25C．60D．42A解析按只会唱歌的3人中被选的人数分为三类，有C23C24＋C13C12C23＋C03C22C22＝37种．5．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块广告牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有()A．55种B．56种C．46种D．45种A解析根据题意可知以红色广告牌的数量进行分类，有以下5种情况：不选用红色广告牌，即全部用蓝色广告牌，有C08＝1种配色方案；当有1块红色广告牌时，有7块蓝色广告牌，不会出现红色广告牌相邻的情况，所以有C18＝8种配色方案；当有2块红色广告牌时，有6块蓝色广告牌，只需先排好6块蓝色广告牌，在其形成的7个空位中选2个空位插入红色广告牌即可，有C27＝21种配色方案；当有3个红色广告牌时，有5个蓝色广告牌，同理可得有C36＝20种配色方案；当有4个红色广告牌时，有4个蓝色广告牌，同理可得有C45＝5种配色方案．由分类加法计数原理得，共有1＋8＋21＋20＋5＝55种配色方案．故选A项．6．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种C解析由题意可分3类．第一类，恰好打3局，共有C12＝2种情形；第二类，恰好打4局，共有C23C12＝6种情形；第三类，恰好打5局，共有C24C12＝12种情形．故所有可能出现的情形有2＋6＋12＝20种．二、填空题7．从5名外语系大学生中选派4名同学参加钢琴比赛的翻译、交通、礼仪三项志愿者活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有________种(用数字作答)．解析可分三步完成．第一步：先从5人中选出2名翻译志愿者，共C25种选法；第二步：从剩余3人中选1名交通志愿者，共C13种选法；第三步：从剩余2人中选1名礼仪志愿者，共C12种选法，所以不同的选派方法共有C25C13C12＝60种．答案608．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有________种(用数字作答)．解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210种．答案2109．如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短线路有________条(用数字作答)．解析如图，从A到B的最短线路有两条：A—M—B；A—N—B．①若线路为A—M—B，则从A到M只需走5条街道，则需要从这五条街道中走3条向东，2条向北，不同的走法为C35＝10种；从M到B只需走5条街道，则需要从这5条街道中走2条向东，3条向北，不同的走法为C25＝10种．由分步乘法计数原理可得，不同的走法为10×10＝100种．②若线路为A—N—B，则从A到N只需走5条街道，则需要从这五条街道中走2条向东，3条向北，不同的走法为C25＝10种；从N到B只需走5条街道，则需要从这5条街道中走3条向东，2条向北，不同的走法为C35＝10种．由分步乘法计数原理可得，不同的走法为10×10＝100种．由分类加法计数原理可得，不同的走法共有100＋100＝200种．答案200三、解答题10．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．解析(1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36C24＝120种方法．(2)方法一至少有1名女运动员包括以下4种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246.方法二“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246种．(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长但有女运动员的选法共有(C48－C45)种．故既要有队长又要有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191种．11．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过10个点中的3点作一平面，最多可作多少个平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？解析(1)所作出的平面分三类：①α内1点，β内2点确定的平面有C14C26＝4×15＝60个；②α内2点，β内1点确定的平面有C24C16＝36个；③α，β本身有2个．故最多可作平面60＋36＋2＝98个．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点所确定的有C14C36个；②α内2点，β内2点所确定的有C24C26个；③α内3点，β内1点所确定的有C34C16个．所以最多确定的三棱锥有C14C36＋C24C26＋C34C16＝194个．12．浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分．已知报考某高校A，B两个专业各需要一门科目满足要求即可，A专业：物理、化学、技术；B专业：历史、地理、技术．考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有多少种？解析根据题意得到下述情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门科目中选择两科即可，方法有C26＝15种；当学生不选择技术时，可以从物理和化学中选择一科，再从历史和地理中选择一科，最后从政治和生物中选择一科，有2×2×2＝8种方法；当学生同时选择物理和化学时，还需要选择历史和地理中的一科，有2种方法；当学生同时选择历史和地理时，需要从物理和化学中再选择一科，也有2种方法．最终加到一起共有15＋8＋2＋2＝27种．四、选做题13．如果自然数a的各位数字之和等于6，那么称a为“如意数”．将所有这些“如意数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2013，求自然数n.解析由题意可得，当只有一位数时，只有6这一个；两位数时，有15,24,33,42,51,60，共6个；三位数时，含有数字0,0,6的有1个，含有数字0,1,5的有4个，含有数字0,2,4的有4个，含有数字0,3,3的有2个，含有数字1,2,3的有6个，含有数字1,1,4的有3个，含有数字2,2,2的有1个，共有1＋4＋4＋2＋6＋3＋1＝21个；四位数小于或等于2013时，含有数字6,0,0,0的有0个，含有5,1,0,0的有3个，含有数字2,4,0,0的有1个，含有数字0,0,3,3的有0个，含有数字2,3,1,0的有7个，含有数字1,1,4,0的有6个，含有数字2,2,2,0的有0个，含有1,1,1,3的有3个，含有数字2,1,2,1的有3个，共有3＋1＋7＋6＋3＋3＝23个．所以小于或等于2013的如意数共有1＋6＋21＋23＝51个，即a51＝2013，所以n＝51.