2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3 组合讲义 苏教版选修2-3

1.3组合学习目标核心素养1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)1.通过对组合学习，发展数学抽象素养．2．借助组合数公式的推导及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.1．组合与组合数的概念(1)组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．思考1：组合与组合数有何区别？[提示]从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素并成一组即为一个组合，一个组合就是完成事情的一种方法，而组合数是指所有组合的个数；组合可以是由任何元素组成的，而组合数是一个数字，是所有组合的个数．2．组合数公式及性质(1)组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝n！m！n－m！＝nn－1n－2…n－m＋1m！.(2)组合数的性质：①Cmn＝Cn－mn；②Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.思考2：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示]关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．1．下列问题是组合问题的有()①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流；②一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动；③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流．A．①②B．①③C．②③D．①②③A[①②与顺序无关是组合问题，③与顺序有关是排列问题．]2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．3[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.]3．C26＝________，C1718＝________.1518[C26＝6×52＝15，C1718＝C118＝18.]4．方程Cx14＝C2x－414的解为________．4或6[由题意知x＝2x－4，2x－4≤14，x≤14或x＝14－2x－4，2x－4≤14，x≤14，解得x＝4或6.]组合的概念【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路探究]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[解](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．[解]要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.组合数的计算与证明【例2】(1)计算：3C38－2C25；(2)计算：C38－n3n＋C3n21＋n.[思路探究](1)直接运用组合数公式进行计算；(2)先求出n，再按组合数公式进行运算．[解](1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)由组合数的意义可得0≤38－n≤3n，0≤3n≤21＋n，即192≤n≤38，0≤n≤212，∴192≤n≤212.∵n∈N*，∴n＝10，∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466.关于组合数计算公式的选取(1)涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．2．求等式C5n－1＋C3n－3C3n－3＝195中的n值．[解]原方程可变形为C5n－1C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，即n－1n－2n－3n－4n－55！＝145·n－3n－4n－53！，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．组合数性质及应用[探究问题]1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示]法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cmn＝Cn－mn.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？[提示]共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示]若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.【例3】(1)化简C34＋C35＋C36＋…＋C32019的值为________．(2)解方程3Cx－7x－3＝5A2x－4；(3)解不等式C4n＞C6n.[思路探究]恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．(1)C42020－1[C34＋C35＋C36＋…＋C32019＝C44＋C34＋C35＋…＋C32019－C44＝C45＋C35＋…＋C32019－1＝…＝C42019＋C32019－1＝C42020－1.](2)[解]由排列数和组合数公式，原方程可化为3·x－3！x－7！4！＝5·x－4！x－6！，则3x－34！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．∴方程的根为x＝11.(3)由C4n＞C6n，得n！4！n－4！＞n！6！n－6！n≥6⇒n2－9n－10＜0，n≥6，⇒－1＜n＜10，n≥6.又n∈N*，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“Cmn＝Cn－mn”的意义及作用意义反映的是组合数的对称性，即从n个不同的元素中取m个元素的一个组合与剩下的n－m个元素的组合相对应作用当mn2时，计算Cmn通常转化为计算Cn－mn2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．(1)0[原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.](2)[解]根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.1．本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题，难点是组合数的性质及应用．2．正确区分排列与组合的关键是看问题所涉及的这件事与顺序是否有关，与顺序有关则是排列，无关是组合．3．本节课的易错点是利用组合数性质Cxn＝Cyn解题时，易误认为一定有x＝y，从而导致解题错误．事实上，Cxn＝Cyn⇔x＝y或x＋y＝n，x≤n，y≤n，x，y∈N*.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()(5)现有4枚抗战胜利纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．()[解析](1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)×因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√(5)×2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A．60种B．48种C．30种D．10种C[从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有C23种方法，故共有C25·C23＝30种．]3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．2或3[设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．]4．C58＋C68的值为________．84[C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.]5．平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上(4个点之间的距离各不相等)，此外任何三点不共线．(1)过每两点连线，可得几条直线？(2)以每三点为顶点画三角形可画几个？[解](1)从9个点任取2个点，除去共线的情况即C29－C24＋1＝31(条)．(2)从9个点任取3个点，除去共线的情况即C39－C34＝80(个)．