2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习 新人教A版选修2-3

1.3.1二项式定理(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.二项式定理的正用与逆用1,42.求二项展开式的特定项59,11,133.展开式的二项式系数与项的系数2,3,7,86,124.整除问题和近似计算10一、选择题1.2C1n＋6C2n＋18C3n＋…＋2×3n－1×Cnn＝()A．22n＋13B．23(4n－1)C．2×3n－1D．23(3n－1)B解析2C1n＋6C2n＋18C3n＋…＋2×3n－1Cnn＝23(C1n×3＋C2n×32＋…＋Cnn×3n)＝23(C0n×30＋C1n×3＋C2n×32＋…＋Cnn×3n－1)＝23[(1＋3)n－1]＝23(4n－1)．2．若x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()A．6B．7C．8D．9B解析因为x＋12xn的展开式中前三项的系数C0n，12·C1n，14C2n成等差数列，所以C0n＋14C2n＝C1n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍)．Tr＋1＝Cr8x8－r·12xr＝12rCr8x8－2r，令8－2r＝4，可得r＝2，故x4的系数为122·C28＝7.3.(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A．－80B．－40C．40D．80C解析(x＋y)(2x－y)5＝x(2x－y)5＋y(2x－y)5，由(2x－y)5展开式的通项公式Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－y)r可得，当r＝3时，x(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C35×22×(－1)3＝－40；当r＝2时，y(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C25×23×(－1)2＝80，则x3y3的系数为80－40＝40.故选C项．4．若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12B解析设x－2＝t，则x＝t＋2，原式化为(2＋t)3＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3，所以a2＝C23·2＝6.故选B项．5．若二项式x＋1xn(x0，且n∈N*)的展开式中含有常数项，则指数n必为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．5的倍数C解析由Tr＋1＝Crn(x)n－r·1xr＝Crnxn－3r2，因展开式中含有常数项，故n－3r＝0有解，所以n必为3的倍数．故选C项．6．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．160B．240C．360D．800B解析把(x2＋3x＋2)5看作5个因式(x2＋3x＋2)相乘，其中一个因式取3x，其他4个因式取2，得C15·3x·C44·24＝240x，所以x的系数为240.二、填空题7．在x－14x6的展开式中，x2的系数为________.解析通项为Tr＋1＝Cr6x6－r－14xr＝Cr6－14rx6－2r，令6－2r＝2⇒r＝2，x2的系数为C26－142＝1516.答案15168．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.答案1649．若n是7777－10除以19的余数，则52x－253x2n的展开式中的常数项为________.解析将7777－10变形为(76＋1)77－10，由二项展开式可得余数为10，从而得到52x－253x2n的展开式的通项Tr＋1＝Cr1052x10－r·－253x2r＝Cr105210－r－25rx53r－10，令53r－10＝0，得r＝6，所以T7＝C610524－256＝1685.所以展开式中的常数项为1685.答案1685三、解答题10．(1)某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%，求这家公司100天后的股票指数(精确到0.001)．(2)求证：5151－1能被7整除．解析(1)依题意有2(1＋0.2%)100＝2(1＋0.002)100＝2×[C0100＋C1100×0.002＋C2100×0.0022＋…]＝2(1＋0.2＋0.0198＋…)≈2.4396≈2.440，故100天后，这家公司的股票指数为2.440.(2)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950×2＋…＋C5051×49×250＋C5151×251－1，易知除(C5151×251－1)以外各项都能被7整除，又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017×717＋C117×716＋…＋C1617×7＋C1717－1＝7(C017716＋C117715＋…＋C1617)，显然上式能被7整除，所以5151－1能被7整除．11．已知x－124xn的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解析依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n·12，C2n·122，所以有2C1n·12＝1＋C2n122，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．所以展开式的第k＋1项为Ck8(x)8－k－124xk＝－12kCk8·x8－k2·x－k4＝(－1)k·Ck82k·x16－3k4.(1)证明：若第k＋1项为常数项，当且仅当16－3k4＝0，即3k＝16，因为k∈Z，所以上式不可能成立，所以展开式中没有常数项．(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，因为0≤k≤8，k∈Z，所以k＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.12．在(x－2y＋3z)5的展开式中，求x3yz项的系数．解析可以把y，z看作参数，则Tk＋1＝Ck5x5－k(－2y＋3z)k，则含x3的项为C25x3(－2y＋3z)2，即x3yz项的系数为2×(－2)×3×C25＝－120.四、选做题13．已知2－1x(m＋x)n(n∈N*)的展开式中共有7项，且所有项系数和为32，则含x3项的系数为()A．－15B．0C．15D．20C解析因为展开式的项数共有7项，即2－1x(m＋x)n＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＋a－1x－1，所以n＝5.令x＝1得展开式中所有项系数和为(m＋1)5＝32，得m＝1.因为2－1x(1＋x)5＝2－1x·(C05·x5＋C15·x4＋C25·x3＋C35·x2＋C45·x＋C55)，故展开式中含x3项的系数为－C15＋2C25＝15.故选C项．