2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 3 组合（第1课时）组合与组合数公式学案 北师大版

第1课时组合与组合数公式学习目标核心素养1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点)3．会解决一些简单的组合问题．(难点)通过对组合和组合数公式的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1．组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考1：区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示]关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．2．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法Cmn组合数公式乘积式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！阶乘式Cmn＝n！m！n－m！性质Cmn＝Cn－mn，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N＋且m≤n；②规定：C0n＝1思考2：在Cmn中有m，n∈N＋，且m≤n，为什么要规定C0n＝1?[提示]C0n＝1是为了运算需要规定的，没有实际意义．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．下面几个问题中属于组合问题的是()①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④C[①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．]3．C26＝________，C1718＝________.1518[C26＝6×52＝15，C1718＝C118＝18.]4．甲、乙、丙三地之间有直达的汽车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．3[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.]组合的概念问题【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？[解](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．区分排列、组合的方法区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信；(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．[解](1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明【例2】(1)计算C410－C37·A33；(2)证明：mCmn＝nCm－1n－1.[解](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：mCmn＝m·n！m！n－m！＝n·n－1！m－1！n－m！＝n·n－1！m－1！n－m！＝nCm－1n－1.关于组合数公式的选取技巧1涉及具体数字的可以直接用nn－mCmn－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！＝n！m！n－m！＝Cmn进行计算.2涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算.2．求使3Cx－7x－3＝5A2x－4成立的x值．[解]根据排列数和组合数公式，原方程可化为3·x－3！x－7！4！＝5·x－4！x－6！，即3x－34！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11时原式成立．组合数的性质[探究问题]1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示]法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cmn＝Cn－mn.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？[提示]共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示]若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.【例3】(1)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32019的值为()A．C42019B．C52019C．C42020－1D．C52019－1(2)计算：C38－n3n＋C3nn＋21的值．思路探究：恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．(1)C[(1)C34＋C35＋C36＋…＋C32019＝C44＋C34＋C35＋…＋C32019－C44＝C45＋C35＋…＋C32019－1＝…＝C42019＋C32019－1＝C42020－1.](2)[解]∵38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N＋，∴n＝10.∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466.1．性质“Cmn＝Cn－mn”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．(1)0[(1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.](2)解：根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算Cmn时，若m＞n2，通常使用Cmn＝Cn－mn转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.1.给出下面几个问题：①从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？②从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？③由1,2,3组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的有()A．①B．②C．①②D．①②③A[①是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；②是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而③中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①是组合问题．]2．下列计算结果为21的是()A．A24＋C26B．C77C．A27D．C27D[C27＝7×62×1＝21.]3．从5名学生中选出2名或3名学生会干部，不同选法共有________种．20[可分两类：选2名的共有C25＝10种；选3名的共有C35＝10种，故共有10＋10＝20种．]4．C58＋C68＝________.84[C58＋C68＝C69＝C39＝9×8×73×2×1＝84.]5．求不等式C2n－n5的解集．[解]由C2n－n5，得nn－12－n5，所以n2－3n－100.解得－2n5.由题设条件知n≥2，且n∈N＋，所以n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.