2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 4 简单计数问题学案 北师大版选修2-3

§4简单计数问题学习目标核心素养1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念．(重点)2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．(难点)通过对两个计数原理、排列组合的进一步学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1．计数问题的基本解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(又称元素分析法)．或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数．2．解决计数问题应遵循的原则先特殊后一般，先组合后排列，先分类后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步．1．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数共有()A．900个B．720个C．648个D．504个C[由于百位数字不能是0，所以百位数字的取法有A19种，其余两位上的数字取法有A29种，所以三位数字有A19·A29＝648(个)．]2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A．720种B．360种C．240种D．120种C[(捆绑法)甲、乙看作一个整体，有A22种排法，再和其余4人，共5个元素全排列，有A55种排法，故共有排法A22·A55＝240种．]3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个B[当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．]排列问题【例1】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A．210个B．300个C．464个D．600个B[若不考虑附加条件，组成的六位数共有A15A55个，而其中个位数字与十位数字的A22种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共有A15A55÷A22＝300个．]定序问题解决方法,对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数.1．把A，B，C，D，E排成一排，要求字母A排在字母B的右边(可相邻也可以不相邻)，不同的排法有________种．60[A，B，C，D，E排成一排有A55种方法．∵A，B两个字母的顺序固定，∴不同的排法有A55A22＝12A55＝60种．]组合问题【例2】某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选．[解](1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人．由分步乘法计数原理，得C22·C452种．(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人．由分步乘法计数原理，得C12·C552种．(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共C02·C652种，即C652种．(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C12·C552＋C02·C652种，或C654－C22·C452种．(5)某3人可除外，故共有C03·C651种，即C651种．(6)C12·C02·C550种，即C12·C550种．解答组合应用题的总体思路1整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.2局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.2.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15B[与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．]排列、组合的综合应用[探究问题]1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？[提示]共有C24＝4×32＝6(个)不同结果．完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？[提示]共有A24－2＝10(个)不同结果．这个问题属于排列问题．完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？[提示]由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C12C13C13＝18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A24＋C12C13C13＝30(种)不同的结果．【例3】现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：(1)共有几种放法？(2)恰有1个空盒，有几种放法？(3)恰有2个空盒，有几种放法？思路探究：(1)可用分步乘法计数原理．(2)恰有一个空盒相当于4个不同的球放到三个不同的盒子内，必有一个盒子放2个球．(3)恰有两个空盒，相当于4个球放到两个盒子内，可以是3,1放法，也可以是2,2放法．[解](1)44＝256(种)．(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144(种)不同的放法．(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的放法共有C34A24＋C24C24＝84种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1按事情发生的过程进行分步.2按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.3．4种不同的种子，选出3种种在三块不同的地上，每一块地只能种一种，则不同的种法有()A．C34A33种B．C23A33种C．C34A13种D．A34A13种A[分两步完成：第一步，选种子，有C34种选法；第二步，种地，有A33种种法，共有C34A33种不同种法．]1．解决排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步，寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题．2．求解排列与组合问题的一般步骤(1)把具体问题化归为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用两个计数原理；(3)分析题目条件，避免重复或遗漏；(4)列出式子，准确计算.1．数列{an}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有()A．30个B．31个C．60个D．61个A[在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A26＝30个．]2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25C[从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26.]3．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．144C[第一步将2,4,6全排，有A33种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有A22A23种；1,3,5均不相邻，有A33种．故总的排法为A33(A22A23＋A33)＝108种，故选C.]4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许空袋且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．96[(排除法)红球放入红口袋中共有A44种放法，则满足条件的放法种数为A55－A44＝96(种)．]5．某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中3个队要安排会英语的导游，2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有多少种？[解]依题意，导游中有5人只会英语，3人只会日语，1人既会英语又会日语．按只会英语的导游分类：①3个英语导游从只会英语人员中选取，则有A35A24＝720(种)．②3个英语导游从只会英语的导游中选2名，另一名由既会英语又会日语的导游担任，则有C25A33·A23＝360(种)．故不同的安排方法共有A35·A24＋C25A33·A23＝1080(种)．所以不同的安排方法共有1080种．