2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理练习 新人教A版必修5

1.1.1正弦定理课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为()A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不确定解析：选A∵sinAsinB，∴2RsinA2RsinB，即ab，故AB.故选A.2．在△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．无解D．无法确定解析：选B因为b＝30，c＝15，C＝26°，所以bcbsinC，故此三角形有两解．故选B.3．在△ABC中，cosAa＝sinBb，则A＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B∵sinAa＝sinBb，又cosAa＝sinBb，∴cosAa＝sinAa，∴sinA＝cosA，tanA＝1.又0°A180°，∴A＝45°.故选B.4．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．2∶5∶6B．6∶5∶2C．6∶2∶5D．不确定解析：选A由正弦定理，知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝2∶5∶6.故选A.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2A2＝b＋c，则△ABC的形状是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B依题意及正弦定理，得sinC(1＋cosA)＝sinB＋sinC，即sinCcosA－sinB＝sinCcosA－sin(A＋C)＝－cosCsinA＝0，所以cosC＝0，因此C＝90°，所以△ABC是直角三角形．故选B.6．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝.解析：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝π3，由正弦定理，asinA＝bsinB，即1sinA＝3sinπ3.∴sinA＝12.答案：127．在△ABC中，已知BC＝5，sinC＝2sinA，则AB＝.解析：由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，所以AB＝sinCsinA·BC＝2BC＝25.答案：258．在△ABC中，若a＝14，b＝76，B＝60°，则C＝.解析：由正弦定理知asinA＝bsinB，又a＝14，b＝76，B＝60°，∴sinA＝asinBb＝14sin60°76＝22，∵ab，∴AB，∴A＝45°，∴C＝180°－(B＋A)＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°9．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝4(3＋1)．10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinB·cosC，试判断△ABC的形状．解：由正弦定理，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2R2＝b2R2＋c2R2，即a2＝b2＋c2，故A＝90°，∴C＝90°－B，cosC＝sinB．∴2sinB·cosC＝2sin2B＝sinA＝1.∴sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°180°，故舍去)，∴△ABC是等腰直角三角形．‖层级二‖|应试能力达标|1．在△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．0个解析：选B∵asinB＝102，∴asinBb＝3a＝5，∴符合条件的三角形有2个．故选B.2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝433，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°解析：选B由S△ABC＝3＝12BC·CA·sinC＝12×433×3sinC，得sinC＝32，又C为锐角，故C＝60°.3．在△ABC中，A＝60°，a＝13，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC等于()A.833B．2393C.2633D．23解析：选B由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R＝asinA＝13sin60°＝2393.故选B.4．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(2＋1)，且sinB＋sinC＝2sinA，则a＝()A.2B．2C．4D．22解析：选C根据正弦定理，sinB＋sinC＝2sinA可化为b＋c＝2a，∵△ABC的周长为4(2＋1)，∴a＋b＋c＝42＋1，b＋c＝2a，解得a＝4.故选C.5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝.解析：因为asinA＝bsinB，所以asin60°＝bsin45°，所以3b＝2a，①又因为a＋b＝12，②由①②可知a＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝π3，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝.解析：由正弦定理asinA＝bsinB＝2R，得a＝3，sinB＝12，∵ab，∴AB，∴B＝π6，C＝π2，∴S△ABC＝12×3×1＝32.答案：327．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值为，边长AC的取值范围为．解析：∵△ABC是锐角三角形且B＝2A，则有02Aπ2，0π－A－2Aπ2，∴π6Aπ4.由正弦定理，得ACsin2A＝1sinA，∴AC2sinAcosA＝1sinA，∴ACcosA＝2，故AC＝2cosA，A∈π6，π4，∴2AC3.答案：2(2，3)8．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝π6，b＝2acosB．(1)求B；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)由正弦定理，得sinB＝2sinAcosB．∵cosB≠0，即tanB＝2sinA＝1，∴B＝π4.(2)由(1)知，在△ABC中，C＝π－(A＋B)＝7π12.由a＝2，得b＝2×2×cosπ4＝22.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×2×22×6＋24＝3＋1.